Définition 1Analyse fonctionnelle

Espaces vectoriels normés et espaces de Banach ⋆

⋆ Axiome du choix

Le sens réciproque de la caractérisation des fermés par les suites, en (i), est celui du nœud Suites convergentes : il choisit un terme dans chacun des ensembles $F \cap B(x, \frac1{n+1})$ , et utilise le choix dénombrable. L'édifice n'en emploie que le sens direct, et les autres points n'en font aucun.

Un espace vectoriel normé est un ${\mathbb R}$ -espace vectoriel $E$ muni d'une norme $\|\cdot\|$ (Normes) : $\|x\| = 0$ entraîne $x = 0$ , $\|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|$ et $\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|$ .

La distance $d(x, y) = \|x - y\|$ en fait un espace métrique, et l'on munit $E$ de la topologie associée, dont les ouverts sont les parties qui contiennent une boule $B(a, r)$ autour de chacun de leurs points (Topologie d'une distance).

Un espace de Banach est un espace normé complet : toute suite de Cauchy y converge.

Énoncé

(i) Les boules ouvertes forment une base de cette topologie, qui est séparée. Une partie $F$ est fermée si et seulement si toute suite d'éléments de $F$ qui converge a sa limite dans $F$ .

(ii) L'addition, la multiplication par un scalaire et la norme sont continues, la norme vérifiant $\big|\|x\| - \|y\|\big| \leqslant \|x - y\|$ . L'adhérence d'un sous-espace est un sous-espace.

(iii) $E$ est un espace de Banach si et seulement si toute série $\sum x_n$ telle que $\sum \|x_n\| < +\infty$ converge.

(iv) Un sous-espace fermé d'un espace de Banach est un espace de Banach.

Démonstration

(i) C'est, pour la distance d'une norme, le contenu des nœuds Normes, (i), et Suites convergentes, (iii). La réciproque de la caractérisation des fermés utilise le choix dénombrable ; on n'emploiera que le sens direct.

(ii) $\|(x + y) - (x_0 + y_0)\| \leqslant \|x - x_0\| + \|y - y_0\|$ et $\|\lambda x - \lambda_0 x_0\| \leqslant |\lambda|\,\|x - x_0\| + |\lambda - \lambda_0|\,\|x_0\|$ . L'inégalité sur la norme découle de l'inégalité triangulaire. Si $F$ est un sous-espace, $\bar F$ est stable par les opérations, qui sont continues.

(iii) Si $E$ est complet et $\sum \|x_n\| < +\infty$ , les sommes partielles forment une suite de Cauchy, puisque $\|S_q - S_p\| \leqslant \sum_{p < n \leqslant q} \|x_n\|$ .

Réciproquement, soit $(y_n)$ de Cauchy, et, avec $n_{-1} = -1$ , $n_k$ le plus petit entier $n > n_{k-1}$ tel que $\|y_m - y_{m'}\| \leqslant 2^{-k}$ pour $m, m' \geqslant n$ . La série $\sum (y_{n_{k+1}} - y_{n_k})$ converge absolument, donc converge, et la suite extraite $(y_{n_k})$ converge. Une suite de Cauchy qui a une suite extraite convergente converge, vers la même limite (Espaces complets, (i)).

(iv) C'est le sens direct du nœud Espaces complets, (iii), qui n'emploie que le sens direct de (i).

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Remarque

En dimension infinie, deux normes sur un même espace peuvent définir des topologies différentes. Sur l'espace des fonctions continues sur $[0, 1]$ , les fonctions $x \mapsto x^n$ ont pour norme uniforme $1$ et pour intégrale $\frac1{n+1}$ : elles tendent vers $0$ pour la norme $\int_0^1 |f|$ , mais pas pour la norme uniforme. En dimension finie, au contraire, toutes les normes sont équivalentes (Équivalence des normes).

Repose sur

Espaces métriques et normés

Sert à

Espaces de fonctions continues Théorème de représentation de Riesz-Markov Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Applications linéaires continues et dual topologique Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer