Définition 1Espaces métriques et normés

Distances et boules

Une distance sur un ensemble $X$ est une application $d : X \times X \to [0, +\infty[$ telle que, pour tous $x, y, z \in X$ , $d(x, y) = 0$ équivaut à $x = y$ , $d(y, x) = d(x, y)$ et $d(x, z) \leqslant d(x, y) + d(y, z)$ ; le couple $(X, d)$ est un espace métrique.

Pour $a \in X$ et $r > 0$ , la boule ouverte est $B(a, r) = \{x \in X : d(a, x) < r\}$ ; pour $r \geqslant 0$ , la boule fermée est $\bar B(a, r) = \{x \in X : d(a, x) \leqslant r\}$ , réduite à $\{a\}$ pour $r = 0$ . Une partie est bornée si elle est contenue dans une boule ; le diamètre d'une partie non vide $A$ est $\operatorname{diam} A = \sup\{d(x, y) : x, y \in A\},$ élément de $[0, +\infty]$ . Sur une partie $A$ de $X$ , la restriction de $d$ à $A \times A$ est encore une distance, dite induite.

Les premiers exemples sont ${\mathbb R}$ muni de $|x - y|$ (Borne supérieure), et la distance discrète sur un ensemble quelconque, égale à $1$ entre deux points distincts. Sur ${\mathbb R^n}$ , on pose $\begin{aligned} d_\infty(x, y) &= \max_i |x_i - y_i|, \\ d_1(x, y) &= \sum_i |x_i - y_i|, \\ d_2(x, y) &= \Big(\sum_i (x_i - y_i)^2\Big)^{1/2} \end{aligned}$ (la racine carrée est construite au point (i) ci-dessous).

Énoncé

(i) Pour tout réel $t \geqslant 0$ , il existe un unique réel $s \geqslant 0$ tel que $s^2 = t$ ; on le note $\sqrt t$ ou $t^{1/2}$ , et $t \mapsto \sqrt t$ est croissante.

(ii) $d_\infty$ , $d_1$ et $d_2$ sont des distances sur $\mathbb R^n$ , et $d_\infty \leqslant d_2 \leqslant d_1 \leqslant n\, d_\infty.$

(iii) Dans un espace métrique, $|d(x, z) - d(y, z)| \leqslant d(x, y)$ pour tous $x, y, z$ . Une partie non vide $A$ est bornée si et seulement si son diamètre est fini ; si $A \subset B(a, r)$ , alors $\operatorname{diam} A \leqslant 2r$ .

Démonstration

(i) La fonction $f(s) = s^2$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[0, +\infty[$ . Par le théorème de la bijection (Bijection continue), son image $J$ est un intervalle, sur lequel $f$ est une bijection de réciproque croissante.

Or $J$ contient $f(0) = 0$ et $f(1 + t) = 1 + 2t + t^2 \geqslant t$ , donc aussi $t$ , puisque c'est un intervalle : il existe un unique $s \geqslant 0$ tel que $s^2 = t$ , et $t \mapsto \sqrt t$ , réciproque de $f$ , est croissante.

(ii) La séparation et la symétrie sont immédiates pour les trois applications : une somme ou un maximum de réels positifs n'est nul que si chacun l'est. Pour $d_\infty$ et $d_1$ , l'inégalité triangulaire découle de $|x_i - z_i| \leqslant |x_i - y_i| + |y_i - z_i|$ , coordonnée par coordonnée, en passant au maximum ou à la somme.

Pour $d_2$ , posons $u = x - y$ , $v = y - z$ , $A = \sum_i u_i^2$ , $B = \sum_i u_iv_i$ et $C = \sum_i v_i^2$ . Pour tout réel $t$ , $\begin{aligned} 0 &\leqslant \sum_i (u_i + tv_i)^2 \\ &= A + 2Bt + Ct^2. \end{aligned}$ Si $C > 0$ , la valeur $t = -B/C$ donne $A - B^2/C \geqslant 0$ , d'où $B^2 \leqslant AC$ ; si $C = 0$ , alors $v = 0$ et $B = 0$ .

Dans les deux cas $B \leqslant |B| = \sqrt{B^2} \leqslant \sqrt{AC} = \sqrt A\,\sqrt C$ (inégalité de Cauchy-Schwarz), par croissance de la racine carrée et parce que $\sqrt{AC} = \sqrt A\,\sqrt C$ , les deux membres étant positifs et de même carré. Alors $\begin{aligned} \sum_i (u_i + v_i)^2 &= A + 2B + C \\ &\leqslant \big(\sqrt A + \sqrt C\big)^2, \end{aligned}$ et, en prenant les racines carrées, $d_2(x, z) \leqslant d_2(x, y) + d_2(y, z)$ .

Pour les comparaisons, soit $w = x - y$ . Le plus grand des $w_i^2$ est au plus leur somme, qui est au plus $\big(\sum_i |w_i|\big)^2$ , puisque le développement de ce carré ajoute des termes $2|w_i||w_j|$ positifs ; on prend les racines carrées. Enfin chaque $|w_i|$ est au plus $\max_j |w_j|$ , et il y a $n$ termes.

(iii) L'inégalité triangulaire donne $d(x, z) - d(y, z) \leqslant d(x, y)$ , et l'échange de $x$ et $y$ l'autre inégalité.

Si $A \subset B(a, r)$ , alors $d(x, y) \leqslant d(x, a) + d(a, y) < 2r$ pour $x, y \in A$ . Réciproquement, si $\operatorname{diam} A = \delta$ est fini et $x \in A$ , alors $A \subset B(x, \delta + 1)$ .

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Remarque

Les trois distances de $\mathbb R^2$ mesurent différemment le même écart. Pour $x = (0, 0)$ et $y = (4, 3)$ , on trouve $d_\infty(x, y) = 4$ , $d_2(x, y) = 5$ et $d_1(x, y) = 7$ , et le point $y$ se trouve donc sur trois « sphères » de formes différentes.

Les ensembles

\{z : d(x, z) = d(x, y)\}

pour les trois distances passent tous par

y = (4, 3)

: le carré bleu de demi-côté

d_\infty(x, y) = 4

, le cercle rouge de rayon

d_2(x, y) = 5

, le losange vert de rayon

d_1(x, y) = 7

. On lit

d_2

sur le segment rouge,

d_1

sur le chemin vert qui suit les axes, et

d_\infty

sur le plus long des deux côtés de ce chemin ; l'encadrement

4 \leqslant 5 \leqslant 7

est celui de

d_\infty \leqslant d_2 \leqslant d_1

pour ce couple. Les trois figures, de rayons différents, se croisent sans s'emboîter.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que la boule fermée $\bar B(a, r)$ est toujours l'adhérence de la boule ouverte $B(a, r)$ . Pour la distance discrète sur un ensemble à au moins deux points, $B(a, 1) = \{a\}$ , alors que $\bar B(a, 1)$ est l'espace entier.

Or, pour la topologie associée à la distance, définie au nœud Topologie d'une distance, toute partie est fermée, puisque toute partie est réunion de boules $B(x, 1) = \{x\}$ , de sorte que l'adhérence de $B(a, 1)$ est $\{a\}$ .

Remarque

Le nœud Produit scalaire reprend le calcul de (ii) pour un produit scalaire quelconque.

Remarque

La distance $d_2$ est la distance euclidienne. Le module des nombres complexes est la distance $d_2$ lue dans $\mathbb R^2$ , ce que l'analyse complexe exploite pour transporter à $\mathbb C$ les résultats de ce graphe (Suites et séries complexes).

Repose sur

Analyse réelle

Sert à

Topologie associée à une distance