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Espaces métriques et normés ⋆
La caractérisation des fermés par les suites et la réciproque du théorème de compacité séquentielle utilisent le choix dénombrable, la seconde aussi le choix dépendant dans la démonstration donnée. Le théorème de Baire équivaut au choix dépendant (Blair, 1977) ; il se démontre sans choix dans un espace complet qui possède une suite dense, comme le théorème des fermés emboîtés. Le lemme du nombre de Lebesgue et le théorème de Heine sur un compact métrique sont démontrés sans aucun choix.
Un espace métrique est un ensemble muni d'une distance. Ses boules ouvertes engendrent une topologie séparée, et les notions de suite convergente, de suite de Cauchy et d'espace complet s'y expriment par des inégalités. Une norme sur un espace vectoriel réel définit une distance invariante par translation : c'est le cadre commun du calcul différentiel dans et de l'analyse fonctionnelle.
Sur un espace métrique compact, tout recouvrement ouvert a un nombre de Lebesgue, ce qui donne le théorème de Heine, et la compacité équivaut à la compacité séquentielle. Dans , les compacts sont les fermés bornés et toutes les normes sont équivalentes. Dans un espace complet, une application contractante a un unique point fixe (Banach), et une intersection dénombrable d'ouverts denses est dense (Baire).
Toute distance définit une topologie séparée, mais toute topologie ne provient pas d'une distance : la topologie grossière d'un ensemble à deux points n'est pas séparée, et le produit des structures topologiques est compact sans être séquentiellement compact, ce qu'aucun espace métrique ne peut être.