Théorème de Baire ⋆

(i) Soit $V$ un ouvert non vide ; montrons que $V \cap \bigcap_n U_n \neq \varnothing$. Comme $U_0$ est dense, $V \cap U_0$ est un ouvert non vide : il contient une boule $B(x_0, s)$ (Topologie d'une distance, (i)), donc la boule fermée $\bar B(x_0, r_0)$ pour $r_0 = \min(s/2, 1)$.

Supposons construite $\bar B(x_n, r_n)$. L'ouvert $B(x_n, r_n) \cap U_{n+1}$ est non vide, par densité, et contient de même une boule fermée $\bar B(x_{n+1}, r_{n+1})$ avec $0 < r_{n+1} \leqslant 2^{-n-1}$.

Les boules sont emboîtées, donc $$d(x_m, x_n) \leqslant r_n \leqslant 2^{-n}$$ pour $m \geqslant n$ : la suite des centres est de Cauchy, et converge vers un $x$, qui appartient à chaque boule fermée $\bar B(x_n, r_n)$, puisqu'elles sont fermées (Topologie d'une distance, (i)) et contiennent les $x_m$ pour $m \geqslant n$ (Suites convergentes, (iii)).

Donc $x \in V \cap \bigcap_n U_n$.

La forme équivalente s'obtient par passage aux complémentaires. Un fermé $F$ est d'intérieur vide si et seulement si l'ouvert $X \setminus F$ est dense, puisque $X \setminus \overline{X \setminus F} = \mathring F$ (Intérieur, adhérence, (ii)). Si les $F_n$ sont des fermés d'intérieurs vides, les $U_n = X \setminus F_n$ sont donc des ouverts denses, et $X \setminus \bigcup_n F_n = \bigcap_n U_n$ est dense, c'est-à-dire que $\bigcup_n F_n$ est d'intérieur vide, par la même égalité appliquée à $A = \bigcup_n F_n$ : l'intérieur de $A$ est le complémentaire de l'adhérence de $X \setminus A$.

(ii) Rangeons les couples d'entiers $(k, j)$ dans l'ordre de leurs images par la bijection $(u, v) \mapsto 2^u(2v + 1) - 1$ de ${\mathbb N} \times \mathbb N$ sur $\mathbb N$ (ℚ est dénombrable, (i)).

Tout ouvert non vide $W$ contient, pour tout entier $n$, une boule fermée $\bar B(q_k, 2^{-j})$ avec $j \geqslant n$. En effet, $W$ contient une boule $B(x, s)$ ; on prend $j \geqslant n$ tel que $2^{-j} < s/2$, puis $k$ tel que $d(q_k, x) < 2^{-j}$, et tout point $y$ de $\bar B(q_k, 2^{-j})$ vérifie $d(y, x) < 2^{1-j} < s$.

Dans la démonstration de (i), on prend alors pour $\bar B(x_0, r_0)$, parmi les boules $\bar B(q_k, 2^{-j})$ contenues dans $V \cap U_0$, celle dont le couple $(k, j)$ est le premier. Puis, $\bar B(x_n, r_n)$ étant construite, on prend pour $\bar B(x_{n+1}, r_{n+1})$, parmi les boules $\bar B(q_k, 2^{-j})$ contenues dans $B(x_n, r_n) \cap U_{n+1}$ et telles que $j \geqslant n + 1$, celle dont le couple est le premier.

La suite des boules est ainsi définie par récurrence (Définition par récurrence), sans aucun choix ; elle vérifie $r_n \leqslant 2^{-n}$, et la fin de la démonstration est inchangée.