Théorème de l'application ouverte et du graphe fermé ⋆

(i) Étape 1. $F = \bigcup_n \overline{u(B(0, n))}$, par surjectivité. Par le théorème de Baire (Théorème de Baire), l'un de ces fermés contient une boule $B(y_0, \rho)$.

L'adhérence $\overline{u(B(0, n))}$ est convexe, comme adhérence d'un convexe : si $y$ et $y'$ lui appartiennent, $t \in [0, 1]$ et $\varepsilon > 0$, des points $z$ et $z'$ de $u(B(0, n))$ à distance $< \varepsilon$ de $y$ et de $y'$ donnent le point $tz + (1 - t)z'$ de $u(B(0, n))$, à distance $< \varepsilon$ de $ty + (1 - t)y'$. Elle est symétrique, puisque $y \mapsto -y$ est une isométrie qui préserve $u(B(0, n))$. Elle contient donc, avec $B(y_0, \rho)$ et $B(-y_0, \rho)$, les milieux de leurs points, $$\begin{aligned} &\frac12\big(B(y_0, \rho) + B(-y_0, \rho)\big) \\ &\quad \supset B(0, \rho), \end{aligned}$$ et par homogénéité $\overline{u(B(0, 1))} \supset B(0, 2c)$ avec $2c = \rho/n$.

Étape 2. Soit $y$ avec $\|y\| < c$. Par l'étape 1 et homogénéité, il existe $x_1 \in B(0, \frac12)$ tel que $\|y - u(x_1)\| < c/2$, puis $x_2 \in B(0, \frac14)$ tel que $\|y - u(x_1) - u(x_2)\| < c/4$, et ainsi de suite : $\|x_k\| < 2^{-k}$ et $\|y - u(x_1 + \cdots + x_k)\| < c\,2^{-k}$.

La série $\sum x_k$ converge absolument, donc converge dans l'espace de Banach $E$ (Espaces normés, (iii)), vers $x$ de norme $< 1$, et $u(x) = y$ par continuité. Donc $B(0, c) \subset u(B(0, 1))$.

Si $O$ est ouvert et $x \in O$ avec $B(x, r) \subset O$, alors $u(O) \supset u(x) + B(0, rc)$.

(ii) Par (i), $\|u^{-1}(y)\| < 1$ dès que $\|y\| < c$, donc $|||u^{-1}||| \leqslant 1/c$, et l'application linéaire $u^{-1}$ est continue (Opérateurs continus, (i)).

(iii) L'espace $E \times F$, muni de $\|x\| + \|y\|$, est complet, puisqu'une suite de Cauchy de $E \times F$ a ses deux composantes de Cauchy, qui convergent, et qu'elle converge alors vers le couple des limites. Le graphe $\Gamma$, sous-espace fermé de cet espace de Banach, en est un (Espaces normés, (iv)). La projection $(x, v(x)) \mapsto x$ est une bijection linéaire continue de $\Gamma$ sur $E$ ; par (ii), sa réciproque $x \mapsto (x, v(x))$ est continue, et $v$ aussi.

La flèche du haut est la réciproque de la projection, continue par (ii) ; la projection sur le second facteur est continue, puisque $\|y\| \leqslant \|x\| + \|y\|$, et le diagramme montre que $v$ est leur composée.

(iv) Soit $(d_j)$ la suite dense de $E$. Les $u(d_j)$ forment une suite dense de $F$ : un ouvert non vide $O$ de $F$ a pour image réciproque un ouvert, non vide puisque $u$ est surjective, qui contient un $d_j$. L'étape 1 applique donc le théorème de Baire sous sa forme sans choix (Théorème de Baire, (ii)).

À l'étape 2, l'ensemble des $x \in E$ tels que $\|x\| < 2^{-k}$ et $\|y - u(x_1 + \cdots + x_{k-1}) - u(x)\| < c\,2^{-k}$ est ouvert, par continuité de $u$, et non vide, par l'étape 1 : il contient des termes de la suite dense, et l'on prend pour $x_k$ celui d'indice le plus petit. La suite $(x_k)$ est ainsi définie par récurrence (Définition par récurrence), sans choix, et le reste de la démonstration de (i) et de (ii) est inchangé.