Proposition 2Analyse fonctionnelle

Applications linéaires continues et dual topologique

Pour $u : E \to F$ linéaire entre espaces normés, on pose $|||u||| = \sup\{\|u(x)\| : \|x\| \leqslant 1\}$ , éventuellement infini. On note ${\mathcal L_c}(E, F)$ l'espace des applications linéaires continues, et ${E'} = \mathcal L_c(E, {\mathbb R})$ le dual topologique de $E$ .

Énoncé

(i) Pour $u$ linéaire, sont équivalents : $u$ est continue ; $u$ est continue en $0$ ; $|||u||| < +\infty$ ; il existe $C$ tel que $\|u(x)\| \leqslant C\|x\|$ pour tout $x$ . On a alors $\|u(x)\| \leqslant |||u|||\,\|x\|$ .

(ii) $|||\cdot|||$ est une norme sur $\mathcal L_c(E, F)$ , la norme d'opérateur, et $|||v \circ u||| \leqslant |||v|||\;|||u|||$ .

(iii) Si $F$ est un espace de Banach, $\mathcal L_c(E, F)$ en est un. En particulier, le dual $E'$ d'un espace normé quelconque est un espace de Banach.

Démonstration

(i) Si $u$ est continue en $0$ , il existe $\delta > 0$ tel que $\|x\| \leqslant \delta$ entraîne $\|u(x)\| \leqslant 1$ ; par homogénéité, $\|u(x)\| \leqslant \|x\|/\delta$ . Si $\|u(x)\| \leqslant C\|x\|$ , alors $\|u(x) - u(y)\| \leqslant C\|x - y\|$ et $u$ est continue. L'équivalence avec $|||u||| < +\infty$ et la dernière inégalité s'obtiennent en appliquant $u$ à $x/\|x\|$ .

(ii) Les axiomes se vérifient en chaque $x$ avant de passer à la borne supérieure ; $\|v(u(x))\| \leqslant |||v|||\;|||u|||\,\|x\|$ .

(iii) Si $(u_k)$ est de Cauchy, chaque $(u_k(x))$ l'est, puisque $\|u_k(x) - u_l(x)\| \leqslant |||u_k - u_l|||\,\|x\|$ , et converge vers $u(x)$ ; $u$ est linéaire, par passage à la limite.

Pour $\varepsilon > 0$ , soit $N$ tel que $|||u_k - u_l||| \leqslant \varepsilon$ pour $k, l \geqslant N$ ; pour tout $x$ , $\|u_k(x) - u_l(x)\| \leqslant \varepsilon\|x\|$ ; en faisant tendre $l$ vers l'infini, $\|u_k(x) - u(x)\| \leqslant \varepsilon\|x\|$ . Donc $u - u_k$ , puis $u$ , est continue, et $|||u_k - u||| \leqslant \varepsilon$ . Enfin $\mathbb R$ est complet.

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Remarque

En dimension infinie, une application linéaire n'est pas toujours continue. Sur l'espace des polynômes muni de la norme uniforme sur $[0, 1]$ , la forme $P \mapsto P'(1)$ envoie $X^n$ , de norme $1$ , sur $n$ : elle n'est bornée sur aucune boule. En dimension finie, au contraire, toute application linéaire est continue (Équivalence des normes).

Repose sur

Espaces vectoriels normés et espaces de Banach

Sert à

Théorème de représentation de Riesz Théorème de Hahn-Banach Théorème de Banach-Steinhaus Théorème de l'application ouverte et du graphe fermé Opérateurs compacts