Normes en dimension finie

(i) Soit $N$ une norme et $(e_i)$ la base canonique. Pour $x = \sum x_i e_i$, $$N(x) \leqslant \sum |x_i|\, N(e_i) \leqslant \beta \|x\|_\infty$$ avec $\beta = \sum N(e_i)$. Par suite $$\begin{aligned} |N(x) - N(y)| &\leqslant N(x - y) \\ &\leqslant \beta \|x - y\|_\infty, \end{aligned}$$ et $N$ est lipschitzienne, donc continue, pour $\|\cdot\|_\infty$ (Topologie d'une distance, (iv)).

La sphère $S = \{x : \|x\|_\infty = 1\}$ est fermée, comme image réciproque d'un singleton par la fonction continue $\|\cdot\|_\infty$, et bornée : elle est compacte pour la topologie de $\|\cdot\|_\infty$ (L'espace ℝⁿ, (iii)), qui est la topologie produit (Normes, (ii)).

Le cas $n = 0$ est trivial ; supposons $n \geqslant 1$, de sorte que $S$, qui contient $e_1$, n'est pas vide. La fonction continue $N$ atteint donc sur $S$ sa borne inférieure $\alpha$ (Compacts de ℝ, (iii)) : $\alpha = N(x_0)$ avec $x_0 \in S$, d'où $\alpha > 0$. Pour $x \neq 0$, $x/\|x\|_\infty \in S$ donne $N(x) \geqslant \alpha \|x\|_\infty$.

Toute norme est ainsi équivalente à $\|\cdot\|_\infty$, et deux normes quelconques sont équivalentes entre elles.

(ii) Par (i), la norme est équivalente à $\|\cdot\|_\infty$ : elle a les mêmes fermés, les mêmes parties bornées et les mêmes compacts, puisque la topologie est la même, et les mêmes suites de Cauchy et suites convergentes (texte ci-dessus). Pour $\|\cdot\|_\infty$, dont la distance est $d_\infty$, c'est le nœud L'espace ℝⁿ, (ii) et (iii).

(iii) Pour $\|x\| \leqslant 1$, $\|u(x)\| \leqslant \sum |x_j|\,\|u(e_j)\|$ est majoré par une constante, grâce à (i) ; la borne supérieure existe (Borne supérieure).

Pour $x \neq 0$, $\|u(x/\|x\|)\| \leqslant |||u|||$ donne la première inégalité, et la seconde s'en déduit : $$\|v(u(x))\| \leqslant |||v|||\;|||u|||\,\|x\|.$$ Les axiomes de norme se vérifient point par point avant de passer à la borne supérieure. Enfin $\|u(x) - u(y)\| \leqslant |||u|||\,\|x - y\|$.

(iv) Si $\varphi : \mathbb R^n \to E$ est un isomorphisme et $N$ une norme sur $E$, alors $N \circ \varphi$ est une norme sur $\mathbb R^n$.

Deux normes sur $E$ se transportent en deux normes équivalentes sur $\mathbb R^n$ ; elles sont donc équivalentes sur $E$. L'isomorphisme $\varphi$ envoie la topologie de $\|\cdot\|_\infty$ sur celle de la norme $\|\varphi^{-1}(\cdot)\|_\infty$, qui est l'une d'elles. Pour les applications linéaires, on utilise l'isomorphisme avec ${\mathcal M_{p,n}}(\mathbb R) \cong \mathbb R^{pn}$ (Matrices).

Enfin, pour une norme $N$ sur $E$, l'isomorphisme $\varphi$ est une isométrie de $\mathbb R^n$, muni de la norme $N \circ \varphi$, sur $(E, N)$. Il est continu ainsi que sa réciproque, puisque tous deux sont $1$-lipschitziens (Topologie d'une distance, (iv)), et il envoie boules sur boules et suites de Cauchy sur suites de Cauchy. Il conserve donc les fermés, les parties bornées, les compacts (Parties compactes, (iii)) et la complétude, et (ii) donne les deux premières affirmations.

Pour la dernière, soit $u : E \to F$ linéaire, où $F$ est un espace normé de dimension finie $p$, et $\psi : \mathbb R^p \to F$ un isomorphisme, isométrique pour la norme transportée. L'application $\psi^{-1} \circ u \circ \varphi$ est continue par (iii), et $u = \psi \circ (\psi^{-1} \circ u \circ \varphi) \circ \varphi^{-1}$ l'est aussi.