Théorème du point fixe de Banach

(i) Par récurrence, $d(x_{m+1}, x_m) \leqslant k^m\,d(x_1, x_0)$. Pour $q > m$, l'inégalité triangulaire et la somme géométrique donnent $$\begin{aligned} d(x_q, x_m) &\leqslant \sum_{j=m}^{q-1} k^j\,d(x_1, x_0) \\ &= k^m\frac{1 - k^{q-m}}{1 - k}\,d(x_1, x_0), \end{aligned}$$ qui est majoré par $\dfrac{k^m}{1 - k}\,d(x_1, x_0)$.

La suite $(k^m)$ tend vers $0$ : c'est clair si $k = 0$, et sinon $1/k = 1 + s$ avec $s > 0$, et $(1 + s)^m \geqslant 1 + ms$ par récurrence, ce qui tend vers $+\infty$ puisque ${\mathbb R}$ est archimédien. La suite $(x_m)$ est donc de Cauchy ; elle converge vers un $x^* \in X$, puisque $X$ est complet.

$\varphi$ est lipschitzienne, donc continue (Topologie d'une distance, (iv)), et $x_{m+1} = \varphi(x_m)$ tend à la fois vers $x^*$ et vers $\varphi(x^*)$ (Suites convergentes, sens direct de (iv)) ; l'unicité de la limite (même nœud, (i)) donne $\varphi(x^*) = x^*$.

Si $y^*$ est un autre point fixe, $d(x^*, y^*) \leqslant k\,d(x^*, y^*)$ impose $x^* = y^*$. L'estimation s'obtient en faisant tendre $q$ vers l'infini dans l'inégalité ci-dessus, la fonction $y \mapsto d(y, x_m)$ étant continue.

(ii) $\mathbb R^n$ est complet pour toute norme (Équivalence des normes, (ii)), et $F$, fermée, est complète pour la distance induite (Espaces complets, sens direct de (iii)) ; on applique (i) à $X = F$.