Suites de Cauchy et espaces complets ⋆

(i) Si $x_n \to \ell$, alors $d(x_p, x_q) \leqslant d(x_p, \ell) + d(\ell, x_q)$. Si $(x_n)$ est de Cauchy, il existe $N$ tel que $d(x_n, x_N) < 1$ pour $n \geqslant N$, et tous les termes sont dans la boule de centre $x_N$ et de rayon $1 + \max_{n \leqslant N} d(x_n, x_N)$.

Supposons enfin $x_{\varphi(k)} \to \ell$. Pour $\varepsilon > 0$, soit $N$ tel que $d(x_p, x_q) < \varepsilon/2$ pour $p, q \geqslant N$, et $k \geqslant N$ tel que $d(x_{\varphi(k)}, \ell) < \varepsilon/2$ ; comme $\varphi(k) \geqslant k \geqslant N$, on a, pour $n \geqslant N$, $$\begin{aligned} &d(x_n, \ell) \\ &\quad \leqslant d(x_n, x_{\varphi(k)}) + d(x_{\varphi(k)}, \ell) \\ &\quad < \varepsilon. \end{aligned}$$

(ii) C'est le théorème du nœud Complétude de ℝ.

(iii) Soit $F$ fermée dans l'espace complet $X$, et $(x_n)$ une suite de Cauchy de $F$. Elle est de Cauchy dans $X$ et converge vers un $\ell \in X$, qui appartient à $F$ par le sens direct du nœud Suites convergentes, (iii).

Réciproquement, soit $A$ complète et $x \in \overline A$. Par la réciproque du nœud Suites convergentes, (ii), une suite $(a_n)$ de $A$ tend vers $x$ ; elle est de Cauchy par (i), donc converge dans $A$ vers un $\ell$, et $\ell = x$ par unicité de la limite : $x \in A$.

(iv) On a $d(x_p, x_q) \leqslant d'(x_p, x_q)/\alpha$ et $d'(x_p, x_q) \leqslant \beta\, d(x_p, x_q)$, et de même avec $\ell$ à la place de $x_q$.

(v) Notons $\delta_n$ le diamètre de $F_n$. Deux points de l'intersection sont à distance au plus $\delta_n$ pour tout $n$, donc égaux : l'intersection a au plus un point.

Supposons d'abord donnée la suite dense $(q_k)$. Pour chaque $n$, le fermé $F_n$ contient un point $y$, et la boule $B(y, 2^{-n})$ contient un terme $q_k$ : l'ensemble des entiers $k$ tels que $B(q_k, 2^{-n})$ rencontre $F_n$ n'est pas vide, et l'on note $k_n$ son plus petit élément.

Pour $m \geqslant n$, la boule $B(q_{k_m}, 2^{-m})$ rencontre $F_m$, donc $F_n$ qui le contient. Il existe ainsi $y, y' \in F_n$ tels que $d(q_{k_n}, y) < 2^{-n}$ et $d(q_{k_m}, y') < 2^{-m}$, d'où $$\begin{aligned} d(q_{k_n}, q_{k_m}) &< 2^{-n} + \delta_n + 2^{-m} \\ &\leqslant 2^{1-n} + \delta_n. \end{aligned}$$ Deux termes d'indices au moins $n$ sont donc à distance inférieure à $2(2^{1-n} + \delta_n)$, qui tend vers $0$ : la suite $(q_{k_n})$ est de Cauchy, et converge vers un point $p$.

Fixons $n$ et $r > 0$, puis $m \geqslant n$ tel que $d(p, q_{k_m}) < r/2$ et $2^{-m} < r/2$. La boule $B(q_{k_m}, 2^{-m})$ rencontre $F_n$, et elle est contenue dans $B(p, r)$ : toute boule de centre $p$ rencontre $F_n$, donc $p \in \overline{F_n} = F_n$ (Topologie d'une distance, (ii)). Ainsi $p$ appartient à tous les $F_n$.

Dans le cas général, on choisit un point $y_n \in F_n$ pour chaque $n$, ce qui fait appel au choix dénombrable. Pour $m \geqslant n$, on a $y_m \in F_n$, donc $d(y_n, y_m) \leqslant \delta_n$ : la suite est de Cauchy et converge vers un $p$. Pour chaque $n$, les $y_m$, $m \geqslant n$, sont dans le fermé $F_n$, qui contient donc $p$ par le sens direct du nœud Suites convergentes, (iii), appliqué à la suite $(y_{n + m})_m$.