Parties précompactes d'un espace complet ⋆

(i) Soit $K$ compacte et $\varepsilon > 0$. Les traces sur $K$ des boules $B(x, \varepsilon)$, $x \in K$, sont des ouverts de $K$ (Topologie d'une distance, (iii)) qui recouvrent $K$ ; un nombre fini d'entre elles suffit, et leurs centres, en nombre fini, forment un $\varepsilon$-réseau. Une partie de $A$ est contenue dans les mêmes boules que $A$.

Si enfin $y \in \bar A$, la boule $B(y, \varepsilon)$ rencontre $A$ (Topologie d'une distance, (ii)) en un point $z$, qui appartient à une boule $B(a_i, \varepsilon)$, et $$d(y, a_i) \leqslant d(y, z) + d(z, a_i) < 2\varepsilon.$$

(ii) Si $Y$ est vide, il n'y a rien à démontrer. Soit $\mathcal U$ une famille d'ouverts de $X$ dont la réunion contient $Y$ ; par Topologie d'une distance, (iii), il suffit de montrer qu'une sous-famille finie de $\mathcal U$ recouvre $Y$. Supposons le contraire, et disons qu'une partie $S \subset Y$ est mauvaise si aucune sous-famille finie de $\mathcal U$ ne la recouvre. Une partie mauvaise n'est pas vide, puisque la famille vide recouvre le vide.

Si $S$ est mauvaise et contenue dans une réunion finie de parties, l'une au moins des traces de ces parties sur $S$ est mauvaise : sinon, la réunion des sous-familles finies qui recouvrent chacune d'elles serait une sous-famille finie qui recouvre $S$.

On définit donc par récurrence sur $k$, en appliquant le nœud Définition par récurrence aux couples $(k, S_k)$, puisque l'étape dépend du rang $k$, des parties mauvaises $S_k$ et des indices $i_k$ : $S_{-1} = Y$, et $i_k$ est le plus petit indice $i \leqslant m_k$ tel que $$S_k = S_{k-1} \cap B(a_{k,i}, 2^{-k})$$ soit mauvaise ; il existe par ce qui précède, puisque $S_{k-1} \subset Y$ est contenue dans la réunion des $B(a_{k,i}, 2^{-k})$.

Posons $c_k = a_{k,i_k}$. La partie $S_{k+1}$ n'est pas vide et elle est contenue dans $B(c_k, 2^{-k}) \cap B(c_{k+1}, 2^{-k-1})$, d'où $d(c_k, c_{k+1}) < 2^{-k} + 2^{-k-1} < 2^{1-k}$. Pour $l > k$, l'inégalité triangulaire donne $$d(c_k, c_l) < \sum_{j \geqslant k} 2^{1-j} = 2^{2-k}.$$ La suite $(c_k)$ est de Cauchy, puisque $2^{-k} \leqslant \frac1{k+1}$ et que $\mathbb R$ est archimédien ; elle converge vers un point $x \in X$, et $d(c_k, x) \leqslant 2^{2-k}$ par continuité de la distance.

Soit $r > 0$ et $k$ tel que $5 \cdot 2^{-k} < r$. Pour $z \in S_k$, on a $$d(z, x) \leqslant d(z, c_k) + d(c_k, x) < 5 \cdot 2^{-k},$$ donc $S_k \subset B(x, r)$. Ainsi toute boule de centre $x$ rencontre $Y$, qui contient $S_k$ : le point $x$ est adhérent à $Y$, et il appartient à $Y$, qui est fermée.

Il appartient donc à un ouvert $U \in \mathcal U$, qui contient une boule $B(x, r)$ (Topologie d'une distance, (i)). Pour $k$ comme ci-dessus, $S_k \subset B(x, r) \subset U$ est recouverte par le seul ouvert $U$, ce qui contredit le fait qu'elle est mauvaise. Enfin $Y$ est séparée, comme tout espace métrique (Topologie d'une distance, (i)) : elle est compacte.

(iii) Soit $Y$ fermée et précompacte. Pour chaque $k$, il existe un $2^{-k}$-réseau de $Y$ ; en choisissant l'un d'eux pour chaque $k$, on applique (ii). Si $A$ est précompacte, $\bar A$ est fermée, et précompacte par (i).