Compacité et compacité séquentielle d'un espace métrique ⋆

Sens direct. Soit $K$ compact et $(x_n)$ une suite de $K$. Disons qu'un ouvert $V$ est rare si l'ensemble des $n$ tels que $x_n \in V$ est fini.

Supposons qu'aucun point $a$ n'ait la propriété suivante : pour tout $r > 0$, l'ensemble des $n$ tels que $x_n \in B(a, r)$ est infini. Alors tout point est le centre d'une boule rare, et les ouverts rares recouvrent $K$.

Un nombre fini d'entre eux suffit ; mais chaque entier $n$ est l'un des indices relatifs à l'un d'eux, puisque $x_n$ appartient à l'un d'eux, et ${\mathbb N}$ serait une réunion finie d'ensembles finis. Il existe donc un point $a$ ayant la propriété.

On pose alors $\varphi(0)$ le plus petit $n$ tel que $x_n \in B(a, 1)$, et $\varphi(k + 1)$ le plus petit $n > \varphi(k)$ tel que $x_n \in B(a, \frac1{k+2})$ ; la suite extraite $(x_{\varphi(k)})$ tend vers $a$, puisque $d(x_{\varphi(k)}, a) < \frac1{k+1}$.

Réciproque. Supposons que toute suite de $K$ ait une suite extraite convergente.

Étape 1 : pour tout $\varepsilon > 0$, $K$ est réunion d'un nombre fini de boules de rayon $\varepsilon$. Sinon, partant d'un point $x_0$, on choisit par récurrence $x_{n+1}$ hors de $B(x_0, \varepsilon) \cup \cdots \cup B(x_n, \varepsilon)$. Deux termes distincts de la suite sont à distance au moins $\varepsilon$ ; aucune suite extraite n'est de Cauchy, donc aucune ne converge (Espaces complets, (i)).

Étape 2 : pour tout recouvrement ouvert $\mathcal U$, il existe $\eta > 0$ tel que toute boule de rayon $\eta$ soit contenue dans un élément de $\mathcal U$. Sinon, on choisit pour chaque $n$ un point $x_n$ tel que $B(x_n, \frac1{n+1})$ ne soit contenue dans aucun élément de $\mathcal U$.

Une suite extraite $(x_{\varphi(k)})$ tend vers un point $a$, qui appartient à un $U \in \mathcal U$ contenant une boule $B(a, r)$. Pour $k$ assez grand, $d(x_{\varphi(k)}, a) < r/2$ et $\frac1{\varphi(k)+1} < r/2$, donc $$\begin{aligned} B(x_{\varphi(k)}, \frac1{\varphi(k)+1}) &\subset B(a, r) \\ &\subset U : \end{aligned}$$ contradiction.

Étape 3. Soit $\mathcal U$ un recouvrement ouvert et $\eta$ comme à l'étape 2. Par l'étape 1, $K$ est la réunion d'un nombre fini de boules $B(c_1, \eta), \dots, B(c_m, \eta)$, et chacune est contenue dans un élément $U_j$ de $\mathcal U$ ; ces $m$ choix sont en nombre fini.

Les ouverts $U_1, \dots, U_m$ recouvrent $K$, qui est séparé (Topologie d'une distance, (i)) : $K$ est compact.