Compacité

Montrons l'équivalence des deux propriétés de recouvrement. Pour un ensemble $\mathcal A$ de parties de $X$, notons $\mathcal A^c$ l'ensemble des complémentaires de ses éléments. On a $(\mathcal A^c)^c = \mathcal A$ ; l'ensemble $\mathcal A^c$ est fini si $\mathcal A$ l'est, comme image de $\mathcal A$ (Ensembles finis, sans les entiers, (iv)) ; et, si $\mathcal A$ n'est pas vide, $\mathcal A$ recouvre $X$ si et seulement si $\bigcap \mathcal A^c = \varnothing$.

Supposons la propriété des recouvrements, et soit $\mathcal F$ un ensemble non vide de fermés d'intersection vide. Alors $\mathcal F^c$ est un recouvrement ouvert de $X$ ; il en contient une partie finie $\mathcal O$ qui recouvre $X$. Si $\mathcal O$ n'est pas vide, $\mathcal O^c$ est une partie finie non vide de $\mathcal F$ d'intersection vide. Si $\mathcal O$ est vide, $X$ est vide, et pour tout $F \in \mathcal F$, la partie $\{F\}$ a pour intersection $F = \varnothing$.

Inversement, supposons la propriété des fermés, et soit $\mathcal C$ un recouvrement ouvert de $X$. Si $X$ est vide, la partie vide de $\mathcal C$ le recouvre. Sinon, $\mathcal C$ n'est pas vide, et $\mathcal C^c$ est un ensemble non vide de fermés d'intersection vide : il a une partie finie non vide $\mathcal G$ d'intersection vide, et $\mathcal G^c$ est une partie finie de $\mathcal C$ qui recouvre $X$.