ATLAS
Ouvrir dans l'atlas →Théorème 2Structures topologiques
Théorème de Tychonov ⋆
Pour des espaces séparés, comme dans la convention adoptée ici, l'énoncé équivaut dans au lemme de l'ultrafiltre, strictement plus faible que l'axiome du choix (J. Łoś et C. Ryll-Nardzewski, « Effectiveness of the representation theory for Boolean algebras », Fund. Math. 41, 1955, p. 49-56 ; H. Rubin et D. Scott, « Some topological theorems equivalent to the Boolean prime ideal theorem », Bull. Amer. Math. Soc. 60, 1954, p. 389, résumé).
Pour des espaces seulement quasi-compacts, il équivaut à l'axiome du choix lui-même (J. L. Kelley, « The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice », Fund. Math. 37, 1950, p. 75-76).
Tout produit d'une famille quelconque d'espaces compacts, muni de la topologie produit, est compact.
Démonstration
Admis ici. La démonstration passe par les ultrafiltres, familles de parties qui contiennent l'espace entier et non la partie vide, stables par intersection de deux éléments et par passage aux parties plus grandes, et maximales pour ces propriétés : un espace séparé est compact si et seulement si tout ultrafiltre sur cet espace converge.
Un ultrafiltre sur le produit a pour image, par chaque projection, un ultrafiltre sur le facteur correspondant, qui converge vers un point unique puisque le facteur est séparé. Le point du produit formé de ces limites est une limite de l'ultrafiltre initial, par la définition des cylindres.
La difficulté contournée est l'existence d'assez d'ultrafiltres, c'est-à-dire le lemme de l'ultrafiltre, que l'atlas déduit du lemme de Zorn ; or celui-ci est établi avec les ordinaux, branche qui ne précède pas celle-ci dans l'atlas.
□Le théorème est démontré plus loin dans l'atlas, au nœud Produits de compacts de la topologie de ℝ, une fois le lemme de l'ultrafiltre établi à partir du lemme de Zorn (Lemme de l'ultrafiltre) et la compacité caractérisée par les ultrafiltres (Compacité et ultrafiltres).
Pour un produit fini, le lemme du tube suffit et aucun choix n'intervient : c'est le passage à une infinité de facteurs qui coûte une forme de l'axiome du choix.