Théorème 4Topologie de ℝ

Théorème de Tychonov et compacité des cubes ⋆

⋆ Axiome du choix

La démonstration emploie le lemme de l'ultrafiltre, par le sens réciproque de la caractérisation de la compacité (Compacité et ultrafiltres, (ii)), et aucune autre forme du choix : les limites $x_i$ sont uniques parce que les facteurs sont séparés, si bien que le point $x$ du produit est défini sans choisir. Sur l'équivalence de l'énoncé avec le lemme de l'ultrafiltre, ou avec l'axiome du choix pour des facteurs seulement quasi-compacts, voir le nœud Théorème de Tychonov.

Énoncé

(i) Théorème de Tychonov. Soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille d'espaces compacts. Le produit $X = \prod_{i \in I} X_i$ , muni de la topologie produit, est compact.

(ii) Pour tout ensemble $I$ , le cube $[0, 1]^I$ , produit de la famille constante égale au segment $[0, 1]$ muni de la topologie induite par ${\mathbb R}$ , est compact.

Démonstration

(i) Séparation. Soit $x \neq y$ dans $X$ . Ces deux familles diffèrent en un indice $j$ , et des ouverts disjoints $U \ni x_j$ et $V \ni y_j$ de $X_j$ donnent les ouverts disjoints $p_j^{-1}(U) \ni x$ et $p_j^{-1}(V) \ni y$ de $X$ (Topologie produit).

Compacité. Par la caractérisation par les ultrafiltres (Compacité et ultrafiltres, (ii)), il suffit de montrer que tout ultrafiltre $\mathcal V$ sur $X$ converge.

Pour chaque $i$ , l'image $(p_i)_*\mathcal V$ est un ultrafiltre sur $X_i$ (Lemme de l'ultrafiltre, (iv)). Comme $X_i$ est compact, il converge, et sa limite est unique puisque $X_i$ est séparé (Compacité et ultrafiltres, (i) et (ii)).

Notons $x_i$ cette limite. La famille $x = (x_i)_{i \in I}$ est un élément de $X$ , défini par compréhension : c'est l'ensemble des couples $(i, z)$ tels que $z$ soit la limite de $(p_i)_*\mathcal V$ , et l'unicité de la limite en fait une application sur $I$ . Aucun choix n'intervient.

Montrons que $\mathcal V$ converge vers $x$ . Soit $W$ un voisinage de $x$ ; il contient un cylindre ouvert $\prod_i U_i$ qui contient $x$ , avec $U_i = X_i$ hors d'une partie finie $J$ de $I$ . Ce cylindre s'écrit $\prod_{i \in I} U_i = \bigcap_{j \in J} p_j^{-1}(U_j),$ l'intersection vide valant $X$ .

Pour $j \in J$ , l'ouvert $U_j$ contient $x_j$ : c'est un voisinage de la limite de $(p_j)_*\mathcal V$ , donc un élément de ce filtre, ce qui signifie exactement $p_j^{-1}(U_j) \in \mathcal V$ .

Pour deux facteurs, le voisinage

U_1

x_1

appartient à l'ultrafiltre image

(p_1)_*\mathcal V

, ce qui veut dire que la bande verticale

p_1^{-1}(U_1)

, en bleu, appartient à

\mathcal V

; de même pour la bande horizontale

p_2^{-1}(U_2)

, en vert. Le cylindre

U_1 \times U_2

, en rouge, intersection des deux bandes, appartient donc à

\mathcal V

, et il rencontre tout élément

A

\mathcal V

L'intersection finie de ces éléments de $\mathcal V$ lui appartient, par récurrence sur le nombre d'éléments de $J$ et l'axiome (b) des filtres, et $X \in \mathcal V$ règle le cas $J = \varnothing$ . Le cylindre appartient donc à $\mathcal V$ , et $W$ , qui le contient, aussi. Ainsi $\mathcal V$ converge vers $x$ , et $X$ est compact.

(ii) Le segment $[0, 1]$ est compact (Borel-Lebesgue) ; on applique (i).

□

Remarque

Le nœud Théorème de Tychonov de la topologie générale énonce ce théorème sans pouvoir le démontrer : la branche des structures topologiques ne dépend que des relations et des fonctions, alors que la preuve donnée ici passe par le lemme de l'ultrafiltre, démontré dans l'atlas par le lemme de Zorn, établi avec les ordinaux. Le lemme de l'ultrafiltre est pourtant strictement plus faible que l'axiome du choix (Théorème de Tychonov) : c'est la démonstration, non l'énoncé, qui fait appel à Zorn. L'analyse réelle vient après l'une et l'autre, et c'est aussi là que le segment $[0, 1]$ devient compact, ce qui donne les cubes du point (ii).

Remarque

C'est la séparation des facteurs qui dispense de tout autre choix. Pour des facteurs seulement quasi-compacts, chaque ultrafiltre image converge encore, mais vers plusieurs points peut-être, et il faudrait en choisir un dans chaque facteur. Ce besoin n'est pas un artefact de la preuve : Kelley (1950) a montré que le théorème pour des facteurs quasi-compacts implique l'axiome du choix.

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'oublier que le résultat tient à la topologie produit. Pour la topologie des boîtes, où tous les produits d'ouverts sont ouverts (Topologie produit), le cube $[0, 1]^{\mathbb N}$ n'est pas compact. Les boîtes $\prod_n V_n$ , où chaque $V_n$ vaut $[0, \frac23[$ ou $]\frac13, 1]$ , le recouvrent, puisque tout réel de $[0, 1]$ est dans l'un de ces deux intervalles.

Mais $m$ d'entre elles, $B^1, \dots, B^m$ , ne suffisent jamais. Le point $y$ dont la coordonnée $y_k$ , pour $1 \leqslant k \leqslant m$ , vaut $0$ si le facteur d'indice $k$ de $B^k$ est $]\frac13, 1]$ et $1$ sinon, et dont les autres coordonnées sont nulles, échappe à chaque $B^k$ par sa $k$ -ième coordonnée. C'est l'argument diagonal du théorème de Cantor (Théorème de Cantor), appliqué à un nombre fini de boîtes.

Remarque

A. Tychonoff a démontré en 1930 la compacité des cubes $[0, 1]^I$ (« Über die topologische Erweiterung von Räumen », Math. Ann. 102, p. 544-561), puis énoncé le théorème général en 1935 (« Über einen Funktionenraum », Math. Ann. 111, p. 762-766), en indiquant que la démonstration est la même que pour les cubes.

E. Čech en publie une démonstration détaillée en 1937 (« On bicompact spaces », Ann. of Math. 38, p. 823-844) : il bien-ordonne l'ensemble des indices par le théorème de Zermelo et construit le point limite coordonnée par coordonnée, par récurrence transfinie. La démonstration par les ultrafiltres s'inscrit dans la théorie des filtres de Cartan (Lemme de l'ultrafiltre), développée ensuite par Bourbaki.

Repose sur

Caractérisation de la compacité par les ultrafiltres Théorème de Borel-Lebesgue

Sert à

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