Théorème 2Topologie de ℝ

Théorème de Borel-Lebesgue

Énoncé

Pour tous réels $a \leqslant b$ , le segment $[a, b]$ est compact : de tout recouvrement de $[a, b]$ par des ouverts de ${\mathbb R}$ , on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Démonstration

Séparation. $[a, b]$ est séparé, comme partie de l'espace séparé $\mathbb R$ (Topologie usuelle de ℝ, (iii) ; Espaces séparés, (iii)).

Ouverts de $\mathbb R$ ou de $[a, b]$ . La compacité porte sur les recouvrements par des ouverts de $[a, b]$ , qui sont les traces $O \cap [a, b]$ des ouverts $O$ de $\mathbb R$ .

Pour un tel ouvert $V$ , on note $\widehat V$ la réunion de tous les ouverts $O$ de $\mathbb R$ tels que $O \cap [a, b] \subset V$ . C'est un ouvert de $\mathbb R$ , et $\widehat V \cap [a, b] = V$ : l'inclusion $\subset$ vient de la définition, et l'inclusion $\supset$ de ce que $\widehat V$ contient l'ouvert dont $V$ est la trace.

Un recouvrement de $[a, b]$ par des ouverts $V_i$ donne ainsi, sans aucun choix, un recouvrement par les ouverts $\widehat V_i$ de $\mathbb R$ , et un sous-recouvrement fini de l'un fournit un sous-recouvrement fini de l'autre. Il suffit donc de traiter les recouvrements par des ouverts de $\mathbb R$ .

Le cœur de la preuve. Soit $(O_i)_{i \in I}$ une famille d'ouverts de $\mathbb R$ dont la réunion contient $[a, b]$ . Posons $\begin{aligned} E = \Big\{x \in [a, b] :\ &[a, x] \subset \textstyle\bigcup_{j \in J} O_j \\ &\text{pour un } J \subset I \text{ fini}\Big\}. \end{aligned}$ Le point $a$ appartient à l'un des $O_i$ , donc $a \in E$ ; et $E$ est majorée par $b$ . Soit $c = \sup E \in [a, b]$ .

Il appartient à un ouvert $O_k$ , et il existe $r > 0$ tel que $]c - r, c + r[ \,\subset O_k$ . Le réel $c - r$ ne majore pas $E$ : il existe $x \in E$ , avec un ensemble fini $J$ correspondant, tel que $c - r < x \leqslant c$ .

Supposons

c < b

pour voir ce qui se passe. Les ouverts du recouvrement sont dessinés au-dessus de l'axe ; les deux ouverts bleus suffisent à recouvrir

[a, x]

, et l'ouvert rouge

O_k

contient une boule de centre

c

qui déborde à gauche de

x

. En ajoutant

O_k

aux ouverts bleus, on recouvre

[a, y]

avec

y = c + \frac r2

, de sorte que

y

appartiendrait à

E

tout en dépassant sa borne supérieure.

Posons $y = \min(b, c + \frac r2)$ . Un point $t \in [a, y]$ vérifie soit $t \leqslant x$ , et alors $t \in [a, x]$ , soit $c - r < x < t \leqslant y < c + r$ , et alors $t \in O_k$ . Donc $[a, y] \subset O_k \cup \bigcup_{j \in J} O_j,$ réunion finie, et $y \in E$ .

Il vient $y \leqslant c$ ; comme $c + \frac r2 > c$ , c'est que $y = b$ , d'où $b \leqslant c$ , puis $c = b$ et $b \in E$ : le segment $[a, b]$ est recouvert par un nombre fini des $O_i$ .

□

Remarque

Aucun choix n'intervient : on ne désigne qu'un seul $x$ et un seul ensemble fini $J$ , ce qui est une simple instanciation d'un énoncé existentiel. C'est encore la propriété de la borne supérieure qui fait tout le travail, comme pour les connexes (Connexes de ℝ).

Remarque

Chacune des deux propriétés du segment est nécessaire. L'intervalle borné $]0, 1]$ n'est pas compact : les ouverts $]\frac1n, 2[$ , pour $n \geqslant 1$ , le recouvrent, et une sous-famille finie, d'indice maximal $N$ , ne recouvre pas le point $\frac1{N+1}$ .

La demi-droite fermée $[0, +\infty[$ ne l'est pas non plus : les ouverts $]{-1}, n[$ la recouvrent, et aucune sous-famille finie n'y suffit.

Remarque

Le théorème est faux dans ${\mathbb Q}$ . Les ouverts $\mathbb Q \,\cap\, ]{-\infty}, \sqrt 2 - \frac1n[$ , pour $n \geqslant 1$ , et $\mathbb Q \,\cap\, ]\sqrt 2, +\infty[$ recouvrent $[0, 2] \cap \mathbb Q$ , puisque $\sqrt 2$ est irrationnel (Densité de ℚ) ; une sous-famille finie, d'indice maximal $N$ , laisse de côté les rationnels de $]\sqrt 2 - \frac1N, \sqrt 2[$ , et il y en a par densité.

Remarque

Ce théorème est la source de toute la compacité de l'atlas : les pavés $[-1, 1]^n$ sont compacts comme produits de segments (Produit fini de compacts).

Cela sert pour l'équivalence des normes en dimension finie (Équivalence des normes), pour les compacts de $\mathbb R^n$ (L'espace ℝⁿ) et pour le lemme du nombre de Lebesgue (Nombre de Lebesgue), qu'utilise le relèvement des homotopies (Revêtements, relèvement) ; et la mesure de Lebesgue en tire la $\sigma$ -additivité de la longueur (Mesure de Lebesgue).

Repose sur

Topologie usuelle de ℝ

Sert à

Parties compactes de ℝ La sphère unité Théorème de Tychonov et compacité des cubes