La mesure de Lebesgue sur ℝ ⋆

(i) $\lambda^*(\varnothing) = 0$, au moyen d'intervalles vides $]0, 0]$. Un recouvrement de $B$ recouvre toute partie $A \subset B$, d'où la croissance.

Pour la sous-additivité, soient $A_n$ avec $\sum_n \lambda^*(A_n) < +\infty$, sans quoi il n'y a rien à montrer, et $\varepsilon > 0$.

Pour chaque $n$, choisissons un recouvrement $(]a_{n,k}, b_{n,k}])_k$ de $A_n$ tel que $$\begin{aligned} &\sum_k (b_{n,k} - a_{n,k}) \\ &\quad \leqslant \lambda^*(A_n) + \varepsilon 2^{-n-1}. \end{aligned}$$

Réindexée par une bijection de $\mathbb N \times \mathbb N$ sur $\mathbb N$ (ℚ est dénombrable), la famille double recouvre $\bigcup A_n$, et sa longueur totale vaut $$\begin{aligned} &\sum_n \sum_k (b_{n,k} - a_{n,k}) \\ &\quad \leqslant \sum_n \lambda^*(A_n) + \varepsilon \end{aligned}$$ par sommation par paquets (Sommes dans [0, +∞], (iv)).

L'invariance par translation vient de ce que les translatés d'un recouvrement de $A$ recouvrent $A + t$, avec la même longueur.

(ii) L'intervalle se recouvre lui-même, d'où $\lambda^*(]a, b]) \leqslant b - a$.

Pour l'autre inégalité, montrons d'abord un lemme : si un segment $[c, d]$ est recouvert par $m$ intervalles ouverts $]\alpha_i, \beta_i[$, alors $d - c \leqslant \sum_i (\beta_i - \alpha_i)$.

Par récurrence sur $m$ : un intervalle $]\alpha_i, \beta_i[$ contient $c$. Si $\beta_i > d$, alors $d - c < \beta_i - \alpha_i$. Sinon $[\beta_i, d]$ n'est pas vide et il est recouvert par les $m - 1$ autres intervalles, d'où $d - \beta_i \leqslant \sum_{j \neq i} (\beta_j - \alpha_j)$, et $d - c = (d - \beta_i) + (\beta_i - c)$ avec $\beta_i - c < \beta_i - \alpha_i$.

Soit maintenant $(]a_k, b_k])_k$ un recouvrement de $]a, b]$ avec $a < b$, et $0 < \varepsilon < b - a$. Le segment $[a + \varepsilon, b]$ est recouvert par les ouverts $]a_k, b_k + \varepsilon 2^{-k}[$ ; il est compact (Topologie de ℝ), donc un nombre fini d'entre eux suffit, et le lemme donne $b - a - \varepsilon \leqslant \sum_k (b_k - a_k) + 2\varepsilon$. On fait tendre $\varepsilon$ vers $0$.

(iii) Soit $H = \,]{-\infty}, c]$ et $E \subset \mathbb R$ avec $\lambda^*(E) < +\infty$. Pour $\varepsilon > 0$, prenons un recouvrement de $E$ par des $]a_k, b_k]$ de longueur totale $\leqslant \lambda^*(E) + \varepsilon$.

Chaque $]a_k, b_k]$ se coupe en $]a_k, b_k] \cap H$ et $]a_k, b_k] \setminus H$, intervalles du même type dont les longueurs s'ajoutent ; ils recouvrent respectivement $E \cap H$ et $E \setminus H$, d'où $$\begin{aligned} \lambda^*(E \cap H) &+ \lambda^*(E \setminus H) \\ &\leqslant \lambda^*(E) + \varepsilon. \end{aligned}$$ Donc $H \in \mathcal M$.

Par le théorème de Carathéodory (Carathéodory), $\mathcal M$ est une tribu ; elle contient les demi-droites, donc $\mathcal B(\mathbb R)$ (Tribus, (iii)).

L'unicité découle du lemme de Dynkin (Classes monotones), appliqué au π-système des intervalles $]a, b]$ et du vide, avec $X_n = \,]{-n}, n]$.

L'invariance par translation sur $\mathcal M$ vient de celle de $\lambda^*$ et de ce que $\mathcal M$ est invariante par translation, puisque la définition de la mesurabilité l'est.

(iv) Un singleton $\{x\}$ est contenu dans $]x - \varepsilon, x]$, donc négligeable, et une réunion dénombrable d'ensembles négligeables l'est. Enfin $\lambda(\mathbb R) \geqslant \lambda(]0, n]) = n$ pour tout $n$.