Parties mesurables au sens de Lebesgue et boréliens ⋆

(i) Supposons d'abord $\lambda(A) < +\infty$. Pour tout $n \in {\mathbb N}$, la définition de $\lambda^*$ permet de choisir une suite d'intervalles $]a_{n,k}, b_{n,k}]$ qui recouvre $A$ et telle que $$\sum_k (b_{n,k} - a_{n,k}) \leqslant \lambda(A) + 2^{-n}.$$

Posons $U_n = \bigcup_k \,]a_{n,k}, b_{n,k}]$. C'est un borélien qui contient $A$, et la sous-additivité (Mesures, (ii)), jointe à $\lambda(]a, b]) = b - a$ (Mesure de Lebesgue, (ii)), donne $\lambda(U_n) \leqslant \lambda(A) + 2^{-n}$.

Le borélien $B = \bigcap_n U_n$ contient $A$. Les boréliens étant mesurables au sens de Lebesgue (Mesure de Lebesgue, (iii)), la croissance de $\lambda$ donne $\lambda(A) \leqslant \lambda(B) \leqslant \lambda(A) + 2^{-n}$ pour tout $n$ ; donc $\lambda(B) = \lambda(A)$. Comme $\lambda(A)$ est fini, $\lambda(B \setminus A) = \lambda(B) - \lambda(A) = 0$ (Mesures, (i)).

Dans le cas général, les parties $A_n = A \cap \,]{-n}, n]$ sont mesurables et de mesure au plus $2n$. Choisissons pour chacune un borélien $B_n \supset A_n$ tel que $\lambda(B_n \setminus A_n) = 0$. Le borélien $B = \bigcup_n B_n$ contient $A = \bigcup_n A_n$.

Un point de $B \setminus A$ appartient à un $B_n$ sans appartenir à $A_n$, si bien que $B \setminus A \subset \bigcup_n (B_n \setminus A_n)$ ; cette réunion est négligeable par sous-additivité, et $B \setminus A$ aussi.

(ii) On applique (i) au complémentaire $A^c$, qui est mesurable : il existe un borélien $B' \supset A^c$ tel que $\lambda(B' \setminus A^c) = 0$. Alors $C = B'^c$ est un borélien contenu dans $A$, et $A \setminus C = A \cap B' = B' \setminus A^c$ est négligeable.