Mesures extérieures et théorème de Carathéodory

Par sous-additivité, $\mu^*(E) \leqslant \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A)$ est toujours vrai : seule l'inégalité inverse est à établir. La définition est symétrique en $A$ et $A^c$, et $X \in \mathcal M$.

Réunion de deux parties. Si $A, B \in \mathcal M$ et $E \subset X$, la mesurabilité de $A$, puis celle de $B$ appliquée à $E \setminus A$, donnent $$\begin{aligned} \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) &+ \mu^*\big((E \setminus A) \cap B\big) \\ &+ \mu^*\big(E \setminus (A \cup B)\big). \end{aligned}$$ Comme $E \cap (A \cup B) = (E \cap A) \cup \big((E \setminus A) \cap B\big)$, la sous-additivité donne $$\begin{aligned} \mu^*(E) &\geqslant \mu^*\big(E \cap (A \cup B)\big) \\ &\quad + \mu^*\big(E \setminus (A \cup B)\big). \end{aligned}$$ Donc $\mathcal M$ est stable par réunion finie, et par différence.

Réunion dénombrable disjointe. Soient $A_k \in \mathcal M$ disjointes, $B_n = A_0 \cup \cdots \cup A_{n-1}$ et $B = \bigcup_k A_k$. Par récurrence, $$\mu^*(E \cap B_n) = \sum_{k < n} \mu^*(E \cap A_k),$$ car la mesurabilité de $A_n$ appliquée à $E \cap B_{n+1}$ sépare $E \cap A_n$ et $E \cap B_n$.

Comme $B_n \in \mathcal M$ et $E \setminus B_n \supset E \setminus B$, $$\mu^*(E) \geqslant \sum_{k < n} \mu^*(E \cap A_k) + \mu^*(E \setminus B).$$

En faisant tendre $n$ vers l'infini puis en utilisant la sous-additivité, $\mu^*(E) \geqslant \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \setminus B)$ : $B \in \mathcal M$.

Pour $E = B$, on obtient $\mu^*(B) \geqslant \sum_k \mu^*(A_k)$, et l'autre inégalité est la sous-additivité : $\mu^*$ est σ-additive sur $\mathcal M$.

Une réunion quelconque d'une suite de $\mathcal M$ se ramène à une réunion disjointe, en remplaçant $A_k$ par $A_k \setminus (A_0 \cup \cdots \cup A_{k-1})$.

Complétude. Si $\mu^*(N) = 0$, alors $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E \setminus N) \leqslant 0 + \mu^*(E)$.