Une partie non mesurable ⋆

La relation $x \sim y \iff x - y \in \mathbb Q$ est une relation d'équivalence sur $[0, 1]$. Choisissons une partie $V \subset [0, 1]$ contenant exactement un élément de chaque classe.

Pour $q \in Q = \mathbb Q \cap [-1, 1]$, les translatés $V + q$ sont deux à deux disjoints : si $v + q = v' + q'$, alors $v \sim v'$, donc $v = v'$ et $q = q'$. Ils sont contenus dans $[-1, 2]$, et leur réunion contient $[0, 1]$ : tout $x \in [0, 1]$ est équivalent à un $v \in V$, et $x - v \in Q$.

Soit $\mu$ une mesure sur $\mathcal P(\mathbb R)$, invariante par translation, avec $0 < \mu([0, 1]) < +\infty$. L'ensemble $Q$ est dénombrable (ℚ est dénombrable), et la σ-additivité donne $$\begin{aligned} \mu([0, 1]) &\leqslant \sum_{q \in Q} \mu(V) \\ &\leqslant \mu([-1, 2]) \leqslant 3\,\mu([0, 1]). \end{aligned}$$ Si $\mu(V) = 0$, la somme est nulle, ce qui contredit la première inégalité ; si $\mu(V) > 0$, elle est infinie, ce qui contredit la dernière.

Si $V$ appartenait à la tribu de Lebesgue $\mathcal M$, les $V + q$ y appartiendraient aussi, avec $\lambda(V + q) = \lambda(V)$ (Mesure de Lebesgue, (iii)), et le même calcul, mené avec $\lambda$ et $\lambda([0, 1]) = 1$, aboutirait à la même contradiction : $V \notin \mathcal M$.