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Théorie

Mesure, intégration ⋆

⋆ Axiome du choix

L'existence de la mesure de Lebesgue, c'est-à-dire d'une mesure σ\sigma-additive sur les boréliens de ℝ{\mathbb R} qui donne à tout intervalle sa longueur, ne se démontre pas dans 𝖹𝖥\mathsf{ZF} seul. Dans le modèle de S. Feferman et A. Lévy (« Independence results in set theory by Cohen's method II », Notices Amer. Math. Soc. 10, 1963, p. 593), ℝ\mathbb R est une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables ; chacun d'eux, réunion dénombrable de singletons, serait de mesure nulle, et ℝ\mathbb R aussi. L'atlas construit cette mesure avec le choix dénombrable (Mesure de Lebesgue).

Une tribu sur XX est une partie de 𝒫(X){\mathcal P}(X) contenant XX, stable par complémentaire et par réunion dénombrable. Une mesure est une application μ\mu définie sur une tribu, à valeurs dans [0,+∞]{[0, +\infty]}, nulle en ∅\varnothing et σ\sigma-additive : μ(⋃n∈ℕAn)=∑n∈ℕμ(An)pour des An deux aˋ deux disjoints.\mu\Big(\bigcup_{n \in {\mathbb N}} A_n\Big) = \sum_{n \in \mathbb N} \mu(A_n) \quad \text{pour des } A_n \text{ deux à deux disjoints.}

La mesure de Lebesgue de ℝn{\mathbb R^n} et la formule du changement de variables sont établies au chapitre « Changement de variables » des équations différentielles, qui réunit la mesure et le calcul différentiel.

Remarque

La formule du changement de variables dans ℝn\mathbb R^n, avec le facteur ∣det⁡dφ∣|\det d\varphi|, les coordonnées polaires et l'intégrale de Gauss, est démontrée au chapitre Changement de variables des équations différentielles, première théorie qui descend à la fois de la mesure, du calcul différentiel et de l'algèbre linéaire.

Repose sur

Analyse réelle

Sert à

ProbabilitésAnalyse fonctionnelle

Contenu : Mesure, intégration

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