Proposition 3Mesure, intégration

Fonctions mesurables

Soit $(X, \mathcal A)$ un espace mesurable. Une fonction $f : X \to {\mathbb R}$ ou $f : X \to {[0, +\infty]}$ est mesurable si $\{f > a\} = f^{-1}(]a, +\infty])$ appartient à $\mathcal A$ pour tout réel $a$ . La fonction indicatrice $\mathbf 1_A$ vaut $1$ sur $A$ et $0$ ailleurs.

Lorsque $X$ est un espace topologique et $\mathcal A$ sa tribu borélienne, engendrée par ses ouverts, une fonction mesurable sur $X$ est dite borélienne.

Pour une suite $(u_n)$ de $[0, +\infty]$ ou de $\mathbb R$ , $\limsup u_n = \inf_n \sup_{k \geqslant n} u_k$ et $\liminf u_n = \sup_n \inf_{k \geqslant n} u_k$ , à valeurs dans la droite achevée.

Énoncé

(i) $f$ est mesurable si et seulement si les ensembles $\{f \geqslant a\}$ (ou $\{f < a\}$ , ou $\{f \leqslant a\}$ ) sont mesurables pour tout $a$ . Une fonction réelle $f$ est mesurable si et seulement si $f^{-1}(B) \in \mathcal A$ pour tout borélien $B$ . $\mathbf 1_A$ est mesurable si et seulement si $A \in \mathcal A$ .

(ii) Si les $f_n$ sont mesurables, $\sup_n f_n$ , $\inf_n f_n$ , $\limsup f_n$ , $\liminf f_n$ le sont, ainsi que la limite simple de $(f_n)$ lorsqu'elle existe.

(iii) Si $f, g$ sont mesurables à valeurs dans $[0, +\infty]$ , $f + g$ l'est. Si $f, g$ sont réelles mesurables et $\varphi : \mathbb R \to \mathbb R$ continue, $\varphi \circ f$ , $f + g$ , $fg$ , $f^+ = \max(f, 0)$ , $f^- = \max(-f, 0)$ et $|f|$ sont mesurables.

Démonstration

(i) $\{f \geqslant a\} = \bigcap_n \{f > a - \frac1{n+1}\}$ , $\{f < a\}$ en est le complémentaire, et $\{f > a\} = \bigcup_n \{f \geqslant a + \frac1{n+1}\}$ ; de même pour les autres. Pour $f$ réelle, $f^{-1}(]{-\infty}, c]) = \{f \leqslant c\}$ , et les demi-droites engendrent ${\mathcal B}(\mathbb R)$ (Tribus, (iii) et (iv)). Enfin $\{\mathbf 1_A > a\}$ vaut $X$ , $A$ ou $\varnothing$ .

(ii) $\{\sup_n f_n > a\} = \bigcup_n \{f_n > a\}$ et $\{\inf_n f_n < a\} = \bigcup_n \{f_n < a\}$ . Les limites supérieure et inférieure sont des $\inf$ de $\sup$ et des $\sup$ de $\inf$ , et la limite, quand elle existe, leur est égale.

(iii) Si $f(x) + g(x) > a$ , il existe un rationnel $r$ tel que $f(x) > r$ et $g(x) > a - r$ : si $f(x) = +\infty$ , tout rationnel $r > a$ convient ; si $g(x) = +\infty$ , tout rationnel $r < f(x)$ convient ; sinon, on prend $r \in \,]a - g(x), f(x)[$ par densité de ${\mathbb Q}$ . Donc $\begin{aligned} &\{f + g > a\} \\ &\quad = \bigcup_{r \in \mathbb Q} \big(\{f > r\} \cap \{g > a - r\}\big), \end{aligned}$ réunion dénombrable.

Pour $\varphi$ continue, $\varphi^{-1}(]a, +\infty[)$ est un ouvert, donc un borélien, et $(\varphi \circ f)^{-1}(]a, +\infty[) = f^{-1}\big(\varphi^{-1}(]a, +\infty[)\big)$ .

Le cas réel de $f + g$ se traite comme le premier, et $fg = \frac14\big((f + g)^2 - (f - g)^2\big),$ le carré, l'opposé, $\max(\cdot, 0)$ et la valeur absolue étant continus.

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire qu'une limite simple de fonctions continues est continue. Les fonctions $x \mapsto \max(0, 1 - n|x|)$ sont continues et convergent simplement vers $\mathbf 1_{\{0\}}$ , qui ne l'est pas. La mesurabilité, elle, passe à la limite : c'est l'une des raisons pour lesquelles la théorie de Lebesgue se prête mieux aux passages à la limite que celle de Riemann.

Les tentes bleues

f_1

f_2

f_4

f_8

, où

f_n(x) = \max(0, 1 - n|x|)

, valent

1

0

et s'annulent hors de

]{-\frac1n}, \frac1n[

. Leur limite simple, en rouge, vaut

1

0

0

partout ailleurs : elle n'est pas continue en

0

Repose sur

Tribus et tribu borélienne La demi-droite achevée et les sommes positives

Sert à

Approximation par des fonctions étagées