Proposition 4Mesure, intégration

Approximation par des fonctions étagées

Une fonction étagée est une fonction mesurable $s : X \to {\mathbb R}$ qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Si $c_1, \dots, c_m$ sont ses valeurs distinctes et $A_i = s^{-1}(\{c_i\})$ , alors $s = \sum_i c_i \mathbf 1_{A_i}$ , les $A_i$ formant une partition mesurable de $X$ : c'est l'écriture canonique de $s$ .

Énoncé

Toute fonction mesurable $f : X \to {[0, +\infty]}$ est la limite simple d'une suite croissante $(s_n)$ de fonctions étagées positives. On peut prendre $\begin{aligned} s_n = {}&\sum_{k=0}^{n2^n - 1} \frac{k}{2^n}\, \mathbf 1_{\{k2^{-n} \leqslant f < (k+1)2^{-n}\}} \\ &+ n\, \mathbf 1_{\{f \geqslant n\}}, \end{aligned}$ et la convergence est uniforme sur toute partie où $f$ est bornée.

Pour

f(x) = \frac12 + 3x - x^2

sur

[0, 3]

, dont le maximum vaut

\frac{11}4

, les fonctions

s_1

(vert) et

s_2

(bleu) se lisent sur l'axe des valeurs et sont tronquées à

1

et à

2

. L'ensemble

\{\frac32 \leqslant f < \frac74\}

, où

s_2

vaut

\frac32

, est la réunion des deux intervalles rouges

[\frac{3 - \sqrt5}2, \frac12[

]\frac52, \frac{3 + \sqrt5}2]

: découper les valeurs ne découpe pas l'axe des abscisses en intervalles consécutifs.

Démonstration

Les ensembles qui interviennent sont mesurables (Fonctions mesurables, (i)), donc $s_n$ est étagée, et $0 \leqslant s_n \leqslant f$ .

Si $f(x) < n$ , $s_n(x) = 2^{-n} \lfloor 2^n f(x) \rfloor$ , où $\lfloor t \rfloor$ désigne la partie entière, qui existe parce que $\mathbb R$ est archimédien ; alors $0 \leqslant f(x) - s_n(x) < 2^{-n}$ . Si $f(x) = +\infty$ , $s_n(x) = n$ . Dans les deux cas $s_n(x) \to f(x)$ , uniformément sur $\{f \leqslant M\}$ dès que $n > M$ .

Croissance. Si $f(x) < n$ , l'intervalle $[k2^{-n}, (k+1)2^{-n}[$ qui contient $f(x)$ est la réunion des deux intervalles de rang $n + 1$ d'extrémités $2k\,2^{-n-1}$ , $(2k+1)2^{-n-1}$ et $(2k+2)2^{-n-1}$ , donc $s_{n+1}(x) \geqslant k2^{-n} = s_n(x)$ . Si $f(x) \geqslant n$ , $s_{n+1}(x) \geqslant n$ , puisque $s_{n+1}(x)$ vaut $n + 1$ si $f(x) \geqslant n + 1$ , et $2^{-n-1}\lfloor 2^{n+1} f(x) \rfloor \geqslant n$ sinon.

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Remarque

La construction découpe l'axe des valeurs, et non l'axe des abscisses comme le fait l'intégrale de Riemann. Lebesgue, dans une conférence donnée à Copenhague en 1926, comparait le procédé de Riemann à celui d'« un commerçant sans méthode qui compterait pièces et billets au hasard », et le sien à celui du « commerçant méthodique », qui compte ensemble les pièces de même valeur avant d'additionner les montants obtenus (passage cité par J.-P. Kahane, « Naissance et postérité de l'intégrale de Lebesgue », Gazette des mathématiciens 89, 2001).

Repose sur

Fonctions mesurables

Sert à

Intégrale des fonctions positives