Définition 3Mesure, intégration

Intégrale des fonctions positives

Soit $(X, \mathcal A, \mu)$ un espace mesuré. Pour une fonction étagée positive d'écriture canonique $s = \sum_i c_i \mathbf 1_{A_i}$ , on pose $\int s \, d\mu = \sum_i c_i\, \mu(A_i)$ . Pour $f : X \to {[0, +\infty]}$ mesurable, l'intégrale est $\begin{aligned} \int f \, d\mu = \sup\Big\{&\int s \, d\mu : s \text{ étagée}, \\ &0 \leqslant s \leqslant f\Big\}, \end{aligned}$ et, pour $A \in \mathcal A$ , $\int_A f \, d\mu = \int f \mathbf 1_A \, d\mu$ .

Énoncé

(i) Si $s = \sum_j d_j \mathbf 1_{B_j}$ avec des $B_j \in \mathcal A$ deux à deux disjoints et $d_j \geqslant 0$ , alors $\int s \, d\mu = \sum_j d_j\, \mu(B_j)$ . Sur les fonctions étagées positives, l'intégrale est additive, positivement homogène et croissante, et les deux définitions coïncident.

(ii) L'intégrale est croissante : $f \leqslant g$ entraîne $\int f \leqslant \int g$ .

(iii) Inégalité de Markov. Pour $a > 0$ , $\mu(\{f \geqslant a\}) \leqslant \frac1a \int f \, d\mu$ .

(iv) $\int f \, d\mu = 0$ si et seulement si $f = 0$ presque partout. Si $\int f \, d\mu < +\infty$ , alors $f < +\infty$ presque partout.

Démonstration

(i) Les points hors des $B_j$ sont de valeur nulle. En regroupant les $B_j$ selon leur valeur $d_j$ , et en utilisant l'additivité de $\mu$ , on retrouve l'écriture canonique.

Si $s = \sum_i c_i \mathbf 1_{A_i}$ et $t = \sum_j d_j \mathbf 1_{B_j}$ sont canoniques, les $A_i \cap B_j$ forment une partition sur laquelle $s + t$ vaut $c_i + d_j$ ; par ce qui précède et l'additivité, $\begin{aligned} \int(s + t) &= \sum_{i,j} (c_i + d_j)\,\mu(A_i \cap B_j) \\ &= \int s + \int t. \end{aligned}$

Si $s \leqslant t$ , on a $c_i \leqslant d_j$ dès que $A_i \cap B_j \neq \varnothing$ , d'où $\int s \leqslant \int t$ . Cette croissance montre que, pour $f = s$ étagée, la borne supérieure de la définition est atteinte en $s$ .

(ii) Toute fonction étagée majorée par $f$ l'est par $g$ .

(iii) $a\mathbf 1_{\{f \geqslant a\}}$ est étagée et majorée par $f$ .

Pour la mesure de comptage

\mu

sur

\{0, \dots, 7\}

a = 3

, les barres rouges, de hauteur

a

sur

\{f \geqslant a\} = \{1, 2, 4, 5\}

, restent sous les barres grises de

f

, et recouvrent exactement la barre grise en

k = 1

k = 5

, où

f = 3

. Les barres étant de largeur

1

, l'aire rouge

a\,\mu(\{f \geqslant a\}) = 12

est donc au plus l'aire grise

\int f \, d\mu = 19

(iv) Si $\int f = 0$ , (iii) donne $\mu(\{f \geqslant \frac1{n+1}\}) = 0$ pour tout $n$ , et $\{f > 0\}$ est la réunion de ces ensembles. Réciproquement, si $N = \{f > 0\}$ est négligeable, toute étagée $s \leqslant f$ a ses valeurs non nulles sur des parties de $N$ , et $\int s = 0$ . Enfin, si $A = \{f = +\infty\}$ n'est pas négligeable, $\int f \geqslant n\,\mu(A)$ pour tout $n$ .

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Remarque

Pour la mesure de comptage $\mu$ sur un ensemble $X$ muni de toutes ses parties, toute fonction $f : X \to [0, +\infty]$ est mesurable, et son intégrale est la somme $\sum_{x \in X} f(x)$ au sens du nœud Sommes dans [0, +∞].

En effet, on a $\mu(A) = \sum_{x \in A} 1$ pour toute partie $A$ , une partie infinie contenant des parties finies de tout nombre d'éléments. Pour une fonction étagée d'écriture canonique $s = \sum_i c_i \mathbf 1_{A_i}$ , il vient $c_i\,\mu(A_i) = \sum_{x \in A_i} s(x)$ (Sommes dans [0, +∞], (ii)), puis $\int s \, d\mu = \sum_{x \in X} s(x)$ par la sommation par paquets (même nœud, (iv)), les $A_i$ formant une partition de $X$ . Si $s \leqslant f$ , cette somme est au plus $\sum_x f(x)$ . Réciproquement, pour $F \subset X$ fini et $n \in {\mathbb N}$ , la fonction étagée égale à $\min(f(x), n)$ en chaque point $x$ de $F$ et nulle ailleurs est majorée par $f$ , d'intégrale $\sum_{x \in F}\min(f(x), n)$ ; la borne supérieure sur $n$ , par le point (ii) du même nœud, puis sur $F$ , donne $\int f \, d\mu \geqslant \sum_x f(x)$ .

Pour $X = \mathbb N$ , une fonction positive est une suite $(a_n)$ , et son intégrale est $\sum_n a_n$ : les séries à termes positifs sont des intégrales. De même, pour la mesure de Dirac $\delta_b$ sur ${\mathcal P}(X)$ , on a $\int g \, d\delta_b = g(b)$ : une fonction étagée positive $s \leqslant g$ a pour intégrale $s(b) \leqslant g(b)$ , et les fonctions étagées $\min(g(b), n)\,\mathbf 1_{\{b\}}$ donnent l'inégalité inverse.

Repose sur

Approximation par des fonctions étagées Mesures et premières propriétés

Sert à

Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)