ℚ est archimédien et dense

Les points (ii) et (iii) sont exactement les hypothèses de la complétion par les coupures de Dedekind (Coupures de Dedekind) : c'est ainsi que $\mathbb R$ sera construit à partir de l'ordre de $\mathbb Q$.

Un corps ordonné n'est pas toujours archimédien. Sur l'anneau intègre ${\mathbb Q[X]}$ (Anneau A[X], (iii)), soit $\Pi$ l'ensemble des polynômes nuls ou de coefficient dominant strictement positif, et posons $P \leqslant Q$ si $Q - P \in \Pi$.

L'ensemble $\Pi$ est stable par somme : si $P, Q \in \Pi$ sont non nuls, de degrés $p \geqslant q$, le coefficient dominant de $P + Q$ est celui de $P$ si $p > q$, et la somme des deux, strictement positive, si $p = q$. Il est stable par produit, le coefficient dominant de $PQ$ étant le produit de ceux de $P$ et de $Q$ (Anneau A[X], (iii)).

Un polynôme non nul a un coefficient dominant non nul, donc lui ou son opposé appartient à $\Pi$ ; et $P$, $-P$ ne sont tous deux dans $\Pi$ que si $P = 0$, leurs coefficients dominants étant opposés. La relation $\leqslant$ est donc un ordre total sur $\mathbb Q[X]$, compatible avec ses lois au sens de Ordre de ℤ, (i) : la réflexivité vient de $0 \in \Pi$, la transitivité et la compatibilité avec l'addition de la stabilité par somme, la compatibilité avec le produit de la stabilité par produit, l'antisymétrie de la seconde propriété, et la totalité de la première.

Par Ordre de ℚ, (ii), le corps des fractions $\mathbb Q(X)$ de $\mathbb Q[X]$ est donc un corps ordonné, où $P/Q \geqslant 0$ si et seulement si $PQ \in \Pi$. Pour tout $n \in {\mathbb N}$, le polynôme $X - n$ est unitaire, donc $n < X$ : aucun multiple $n \cdot 1$ ne dépasse $X$, et $\mathbb Q(X)$ n'est pas archimédien. De même, $0 < 1/X < 1/n$ pour $n \geqslant 1$ : d'une part $1 \times X = X$ est unitaire, donc dans $\Pi$ ; d'autre part $1/n - 1/X = (X - n)/(nX)$, et $(X - n) \cdot nX$ a pour coefficient dominant $n > 0$.