Définition 1Mesure, intégration

Tribus et tribu borélienne

Une tribu sur un ensemble $X$ est une partie $\mathcal A$ de ${\mathcal P}(X)$ qui contient $X$ , est stable par passage au complémentaire, et par réunion des familles $(A_n)_{n \in {\mathbb N}}$ . Le couple $(X, \mathcal A)$ est un espace mesurable, et les éléments de $\mathcal A$ sont dits mesurables.

La tribu borélienne ${\mathcal B}({\mathbb R})$ est la tribu engendrée par les ouverts de $\mathbb R$ .

Énoncé

(i) Une tribu contient $\varnothing$ et est stable par réunion finie, par intersection finie ou indexée par $\mathbb N$ , et par différence. Elle est stable par réunion d'une famille indexée par un ensemble au plus dénombrable.

(ii) Toute intersection d'un ensemble non vide de tribus sur $X$ est une tribu. Pour $\mathcal C \subset \mathcal P(X)$ , la tribu engendrée $\sigma(\mathcal C)$ est l'intersection des tribus qui contiennent $\mathcal C$ ; c'est la plus petite.

(iii) $\mathcal B(\mathbb R)$ est engendrée par les intervalles $]a, b]$ , $a < b$ réels, et aussi par les demi-droites $]{-\infty}, c]$ .

(iv) Si $f : X \to Y$ et si $\mathcal T$ est une tribu sur $Y$ , l'ensemble $\{B \subset Y : f^{-1}(B) \in \mathcal A\}$ est une tribu. En particulier, si $\mathcal T = \sigma(\mathcal C)$ , il suffit que $f^{-1}(C) \in \mathcal A$ pour $C \in \mathcal C$ pour que $f^{-1}(B) \in \mathcal A$ pour tout $B \in \mathcal T$ .

Démonstration

(i) $\varnothing = X^c$ . Pour une réunion finie, on complète la famille par des $\varnothing$ ; les intersections s'obtiennent par complémentaire, $\bigcap A_n = \big(\bigcup A_n^c\big)^c$ , et $B \setminus A = B \cap A^c$ . Une famille indexée par un ensemble au plus dénombrable se réindexe par une partie de $\mathbb N$ , que l'on complète par des $\varnothing$ .

(ii) Les trois conditions passent à l'intersection, et $\mathcal P(X)$ est une tribu contenant $\mathcal C$ .

(iii) $]a, b] = \bigcap_n \,]a, b + \frac1{n+1}[$ est borélien.

Réciproquement, un ouvert $O$ de $\mathbb R$ est la réunion des intervalles $]a, b]$ à extrémités rationnelles contenus dans $O$ , car tout $x \in O$ appartient à l'un d'eux, par densité de ${\mathbb Q}$ ; c'est une réunion indexée par une partie de ${\mathbb Q^2}$ , qui est dénombrable (ℚ est dénombrable). Donc les ouverts sont dans la tribu engendrée par ces intervalles.

Enfin $]a, b] = \,]{-\infty}, b] \setminus \,]{-\infty}, a]$ et $]{-\infty}, c] = \bigcup_n \,]c - n - 1, c]$ .

(iv) $f^{-1}$ commute avec le complémentaire et les réunions. La tribu ainsi définie contient $\mathcal C$ , donc $\sigma(\mathcal C)$ .

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Remarque

Une tribu n'est pas une topologie : elle est stable par complémentaire, mais seulement par réunion dénombrable. Si elle était stable par réunion quelconque et contenait les singletons, elle contiendrait toutes les parties ; c'est précisément ce que la mesure de Lebesgue ne peut pas supporter, comme le montrera l'ensemble de Vitali.

Remarque

Par (iv), toute application continue $f : \mathbb R \to \mathbb R$ est borélienne : l'image réciproque de tout borélien est borélienne, puisque c'est vrai des ouverts.

Repose sur

ℚ

Sert à

Mesures et premières propriétés Fonctions mesurables