Analyse fonctionnelle ⋆

Le théorème de Hahn-Banach découle du lemme de l'ultrafiltre, et il ne se démontre pas dans $\mathsf{ZF}$ seul : il entraîne l'existence d'une partie de ${\mathbb R}$ non mesurable au sens de Lebesgue (M. Foreman et F. Wehrung, « The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set », Fund. Math. 138, 1991, p. 13-19), alors que, si l'existence d'un cardinal inaccessible est cohérente avec $\mathsf{ZFC}$, il est cohérent avec $\mathsf{ZF}$ que toute partie de $\mathbb R$ soit mesurable (Solovay, 1970). Il est strictement plus faible que le lemme de l'ultrafiltre (D. Pincus, « Independence of the prime ideal theorem from the Hahn Banach theorem », Bull. Amer. Math. Soc. 78, 1972, p. 766-770). Les théorèmes de Banach-Steinhaus et de l'application ouverte reposent sur le théorème de Baire, établi avec les espaces métriques, qui équivaut au choix dépendant (Blair, 1977) ; pour un espace qui possède une suite dense, ils se démontrent sans choix, comme le théorème de Baire lui-même, à l'exception du théorème du graphe fermé. Le théorème de projection et celui de Riesz sont démontrés sans choix dans un espace de Hilbert qui possède une suite dense, et avec le choix dénombrable en général : pour un espace seulement supposé complet au sens des suites de Cauchy, ils ne sont pas démontrables dans $\mathsf{ZF}$ (Blackadar, Farah et Karagila, 2024). Le théorème spectral des opérateurs compacts autoadjoints est démontré sans choix ; la base hilbertienne de vecteurs propres, dans un espace qui n'est pas séparable, et la compacité d'une limite quelconque d'opérateurs compacts utilisent ici le choix dénombrable. La complétude des espaces $L^p$ choisit des représentants, et le théorème de Radon-Nikodym hérite, par le théorème de Riesz, du choix d'une suite minimisante ; le dual de $L^p$ en dépend. Quand la tribu est engendrée par une suite de parties et la mesure σ-finie, $L^2$ possède une suite dense explicite, et la complétude de $L^1$ et de $L^2$, le théorème de Radon-Nikodym et le dual de $L^p$ se démontrent sans choix. Le théorème de Riesz-Markov utilise le choix dénombrable, comme la mesure de Lebesgue, qu'il redonne à partir de l'intégrale de Riemann. Le théorème d'Ascoli, pour une partie quelconque, choisit un réseau fini par rayon (choix dénombrable) ; sa forme séquentielle et le théorème de Stone-Weierstrass sont démontrés sans choix, et la séparabilité de $C(K)$ pour un compact métrique quelconque demande le choix dénombrable.