ChapitreAnalyse fonctionnelle

Espaces Lᵖ, Radon-Nikodym et dualité ⋆

Les puissances réelles $t^p$, construites en analyse réelle par le logarithme $\ln x = \int_1^x \frac{dt}t$, sont d'abord rappelées, avec les propriétés que les espaces $L^p$ en emploient. Viennent ensuite l'inégalité de Young, les espaces $L^p$ pour $1 \leqslant p \leqslant +\infty$, les inégalités de Hölder, avec son cas d'égalité, et de Minkowski, la complétude de $L^p$, les inclusions entre ces espaces et leurs parties denses.

La seconde partie traite des mesures à densité. Une mesure $\nu$ est absolument continue par rapport à $\mu$ si elle ne charge aucune partie $\mu$-négligeable. Pour des mesures $\mu$ et $\nu$ σ-finies, le théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym, démontré par la méthode de von Neumann à partir du théorème de Riesz dans $L^2(\mu + \nu)$, décompose $\nu$ en une partie à densité et une partie étrangère à $\mu$. Il donne enfin le dual de $L^p$ : pour $1 \leqslant p < +\infty$ et $\mu$ σ-finie, toute forme linéaire continue sur $L^p$ s'écrit $f \mapsto \int fg \, d\mu$ avec $g \in L^q$, $\frac1p + \frac1q = 1$.