Mesures à densité, absolue continuité, mesures étrangères

(i) Pour $g = \mathbf 1_A$, c'est la définition. Pour $g$ étagée positive, $g = \sum_i c_i\mathbf 1_{A_i}$ en écriture canonique, la linéarité de l'intégrale (Convergence monotone, (i)) donne $$\begin{aligned} \int g \, d(f\cdot\mu) &= \sum_i c_i \int \mathbf 1_{A_i} f \, d\mu \\ &= \int g f \, d\mu. \end{aligned}$$

Pour $g$ mesurable positive, soit $(s_n)$ une suite croissante d'étagées positives de limite $g$ (Fonctions étagées) ; $(s_n f)$ croît vers $gf$, avec la convention $0 \cdot (+\infty) = 0$, puisque $f$ est finie et positive. La convergence monotone, appliquée des deux côtés, conclut.

Pour $g$ réelle, $(gf)^\pm = g^\pm f$ et $|gf| = |g|f$ ; on applique ce qui précède à $|g|$, $g^+$ et $g^-$. L'égalité relative à $\mu + \nu$, mesure évidente, se démontre de la même façon, à partir des indicatrices.

(ii) Pour $A \in \mathcal A$, par (i) appliqué à $\mathbf 1_A g$, $$\begin{aligned} \big(g\cdot(f\cdot\mu)\big)(A) &= \int \mathbf 1_A g f \, d\mu \\ &= \big((gf)\cdot\mu\big)(A). \end{aligned}$$

(iii) Si $\mu(A) = 0$, la fonction $\mathbf 1_A f$ est nulle presque partout, donc d'intégrale nulle (Intégrale positive, (iv)). Si $\nu \ll \mu$ et si $S$ est comme dans la définition, $\nu(S) = 0$ puisque $\mu(S) = 0$, et $\nu(X) = \nu(S) + \nu(X \setminus S) = 0$.

(iv) Fixons une suite croissante $(X_n)$ de parties de mesure finie, de réunion $X$. Soit $A_n = \{f > g\} \cap X_n \cap \{f \leqslant n\}$. Alors $\int_{A_n} g \, d\mu = \int_{A_n} f \, d\mu \leqslant n\,\mu(X_n)$ est fini ; les fonctions $f\mathbf 1_{A_n}$ et $g\mathbf 1_{A_n}$ sont intégrables, et la linéarité (Fonctions intégrables, (i)) donne $\int (f - g)\mathbf 1_{A_n} \, d\mu = 0$.

La fonction $(f - g)\mathbf 1_{A_n}$, positive, est donc nulle presque partout ; comme elle est strictement positive sur $A_n$, $\mu(A_n) = 0$. Les $A_n$ croissent vers $\{f > g\}$, puisque $f$ est finie, et $\mu(\{f > g\}) = 0$. On échange $f$ et $g$.