Définition 2Probabilités

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition

Une variable aléatoire réelle est une fonction mesurable $X : \Omega \to {\mathbb R}$ . Sa loi est la probabilité $P_X(B) = P(X \in B)$ sur ${\mathcal B}(\mathbb R)$ , et sa fonction de répartition est $F_X(x) = P(X \leqslant x)$ . La tribu engendrée par $X$ est $\sigma(X) = \{X^{-1}(B) : B \in \mathcal B(\mathbb R)\}$ , et des variables sont indépendantes si les tribus qu'elles engendrent le sont.

Une probabilité $\mu$ sur $\mathbb R$ a pour densité une fonction borélienne $f \geqslant 0$ d'intégrale $\int_{\mathbb R} f(x)\,dx = 1$ si $\mu(B) = \int_B f(x)\,dx$ pour tout borélien $B$ , les intégrales étant prises pour la mesure de Lebesgue ; une variable a pour densité $f$ si sa loi l'a.

Énoncé

(i) $F_X$ est croissante, continue à droite, de limites $0$ en $-\infty$ et $1$ en $+\infty$ , et elle détermine la loi $P_X$ .

À gauche, la fonction de répartition du nombre

X

de piles en deux lancers d'une pièce équilibrée : elle saute de

\frac14

\frac12

\frac14

0

1

2

, et le point plein marque la valeur prise au saut, ce qui traduit la continuité à droite. À droite, celle de la loi uniforme sur

[0, 1]

est continue, car aucun point n'y a une probabilité non nulle.

(ii) Des variables $X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes si et seulement si $P(X_1 \leqslant x_1, \dots, X_n \leqslant x_n) = \prod_i F_{X_i}(x_i)$ pour tous $x_i$ . Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $\varphi(X)$ et $\psi(Y)$ le sont pour $\varphi, \psi$ boréliennes.

(iii) Le couple $(X, Y)$ est mesurable pour la tribu produit $\mathcal B(\mathbb R) \otimes \mathcal B(\mathbb R)$ , et $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si la loi du couple est la mesure produit $P_X \otimes P_Y$ .

Démonstration

(i) $P_X$ est une probabilité, image de $P$ par $X$ : la σ-additivité passe aux images réciproques. Si $x \leqslant y$ , $\{X \leqslant x\} \subset \{X \leqslant y\}$ , d'où la croissance. Si $x_n \downarrow x$ , les $\{X \leqslant x_n\}$ décroissent vers $\{X \leqslant x\}$ , et la continuité décroissante d'une mesure finie (Mesures) donne la continuité à droite.

Comme $F_X$ est croissante et à valeurs dans $[0, 1]$ , ses limites en $\pm\infty$ existent et sont celles des suites $F_X(\pm n)$ ; or les événements $\{X \leqslant -n\}$ décroissent vers $\varnothing$ et les $\{X \leqslant n\}$ croissent vers $\Omega$ , d'où les limites $0$ et $1$ par continuité décroissante et croissante.

Les demi-droites $]{-\infty}, x]$ forment un π-système qui engendre $\mathcal B(\mathbb R)$ (Tribus) ; deux lois de même fonction de répartition coïncident par le lemme de Dynkin (Classes monotones), appliqué avec la suite des demi-droites $]{-\infty}, n]$ , dont la réunion est $\mathbb R$ , et les mesures étant finies.

(ii) Les $\{X_i \leqslant x\}$ forment un π-système engendrant $\sigma(X_i)$ : l'ensemble des boréliens $B$ tels que $\{X_i \in B\}$ appartienne à la tribu qu'ils engendrent est une tribu qui contient les demi-droites, donc tous les boréliens (Tribus, (iii) et (iv)). Pour obtenir la formule produit d'une sous-famille, on prend $x_j$ arbitrairement grand pour les indices $j$ qui n'en font pas partie, la continuité croissante faisant tendre $F_{X_j}(x_j)$ vers $1$ ; on applique Indépendance, (i). Ensuite $\sigma(\varphi(X)) \subset \sigma(X)$ .

(iii) $(X, Y)^{-1}(A \times B) = X^{-1}(A) \cap Y^{-1}(B)$ est mesurable ; les pavés engendrant la tribu produit (Mesure produit), $(X, Y)$ est mesurable par Tribus, (iv). Sur les pavés, l'indépendance s'écrit $P_{(X, Y)}(A \times B) = P_X(A)P_Y(B)$ ; ils forment un π-système, et l'unicité de la mesure produit (Mesure produit) conclut.

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Remarque

Une variable de Bernoulli de paramètre $p$ vaut $1$ avec probabilité $p$ et $0$ sinon. Le nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes suit la loi binomiale : $P(S_n = k) = N_{n,k}\, p^k (1 - p)^{n-k}$ , où $N_{n,k}$ est le nombre de parties à $k$ éléments de $\{1, \dots, n\}$ . Le rang du premier succès suit la loi géométrique : $P(T = k) = (1 - p)^{k-1}p$ pour $k \geqslant 1$ .

Remarque

Toute probabilité $\mu$ sur $\mathbb R$ est la loi d'une variable : sur $(\mathbb R, \mathcal B(\mathbb R), \mu)$ , l'identité convient. La loi uniforme sur $[0, 1]$ est la restriction de la mesure de Lebesgue, de fonction de répartition $x \mapsto x$ sur $[0, 1]$ . Construire une suite de variables indépendantes est plus délicat ; le nœud Nombres normaux le fait pour des variables de Bernoulli.

Repose sur

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Indépendance d'événements et de tribus Mesure, intégration

Sert à

Espérance, variance et inégalités Loi du 0-1 de Kolmogorov