Théorème 5Probabilités

Loi du 0-1 de Kolmogorov

Pour une suite de variables aléatoires $(X_n)$ , on note $\sigma(X_k : k \geqslant n)$ la tribu engendrée par la réunion des tribus $\sigma(X_k)$ , $k \geqslant n$ (Variables aléatoires). La tribu asymptotique est $\mathcal T = \bigcap_n \sigma(X_k : k \geqslant n)$ : ses événements ne dépendent pas d'un nombre fini quelconque de variables.

Énoncé

Si les $X_n$ sont indépendantes, tout événement de $\mathcal T$ a pour probabilité $0$ ou $1$ .

Démonstration

Par regroupement (Indépendance, (ii)), $\sigma(X_1, \dots, X_n)$ est indépendante de $\sigma(X_k : k > n)$ , qui contient $\mathcal T$ .

Ainsi $\mathcal T$ est indépendante de chaque $\sigma(X_1, \dots, X_n)$ , donc de leur réunion, qui est un π-système, réunion croissante de tribus. Par Indépendance, (i), $\mathcal T$ est indépendante de la tribu engendrée par cette réunion, $\sigma(X_k : k \geqslant 1)$ , qui contient $\mathcal T$ .

Pour $A \in \mathcal T$ , $P(A) = P(A \cap A) = P(A)^2$ , donc $P(A) \in \{0, 1\}$ .

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Remarque

Posons $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ . L'événement « $S_n/n$ converge » est asymptotique : pour tout $N$ , $S_n/n$ converge si et seulement si $\frac1n(X_N + \cdots + X_n)$ converge, puisque $\frac1n(X_1 + \cdots + X_{N-1}) \to 0$ , et ce dernier événement, qui s'écrit par le critère de Cauchy au moyen d'intersections et de réunions dénombrables d'événements de $\sigma(X_k : k \geqslant N)$ , appartient à cette tribu. La loi du 0-1 dit, avant tout calcul, qu'il est presque sûr ou presque impossible ; la loi forte tranche. Elle ne dit pas lequel des deux cas a lieu, et c'est là toute sa limite.

Repose sur

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition

Sert à

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