Indépendance d'événements et de tribus

(i) Fixons $J$ fini, $j_0 \in J$ et des $C_j \in \mathcal C_j$ pour $j \neq j_0$. L'ensemble des $A \in \mathcal A$ tels que $$\begin{aligned} &P\big(A \cap \bigcap_{j \neq j_0} C_j\big) \\ &\quad = P(A)\prod_{j \neq j_0} P(C_j) \end{aligned}$$ est une classe monotone : il contient $\Omega$, par la formule produit pour $J \setminus \{j_0\}$, il est stable par différence $B \setminus A$ avec $A \subset B$, puisque $P$ est finie, et par réunion croissante, par continuité.

Il contient $\mathcal C_{j_0}$, donc $\sigma(\mathcal C_{j_0})$ par le lemme de Dynkin (Classes monotones).

On remplace ainsi chaque $\mathcal C_j$ par $\sigma(\mathcal C_j)$, l'un après l'autre. Pour des événements, on applique ce résultat aux π-systèmes $\{A_i\}$, qui engendrent $\{\varnothing, A_i, A_i^c, \Omega\}$.

(ii) Soit $\mathcal C_k$ l'ensemble des intersections finies d'éléments de $\bigcup_{i \in I_k} \mathcal A_i$ : c'est un π-système qui engendre $\mathcal B_k$.

Une intersection finie d'éléments pris dans des $\mathcal C_k$ distincts est une intersection finie d'éléments de tribus $\mathcal A_i$ d'indices distincts, puisque les $I_k$ sont disjoints et qu'on peut regrouper dans une même $\mathcal A_i$ les facteurs de même indice.

Pour des $C_k \in \mathcal C_k$ en nombre fini, l'indépendance des $\mathcal A_i$ donne donc $P\big(\bigcap_k C_k\big) = \prod_i P(A_i)$, où les $A_i$ sont les facteurs ainsi regroupés ; appliquée à chaque $C_k$ seul, elle donne $P(C_k) = \prod_{i \in I_k} P(A_i)$, le produit portant sur les mêmes facteurs. La formule produit vaut donc pour les $\mathcal C_k$, et l'on applique (i).