Lemme 1Probabilités

Lemmes de Borel-Cantelli

Pour une suite d'événements $(A_n)$ , l'événement $\limsup A_n = \bigcap_m \bigcup_{k \geqslant m} A_k$ est formé des $\omega$ qui appartiennent à une infinité de $A_n$ .

Énoncé

(i) Si $\sum_n P(A_n) < +\infty$ , alors $P(\limsup A_n) = 0$ : presque sûrement, seul un nombre fini des $A_n$ est réalisé.

(ii) Si les $A_n$ sont indépendants et $\sum_n P(A_n) = +\infty$ , alors $P(\limsup A_n) = 1$ .

Démonstration

(i) Pour tout $m$ , $P(\limsup A_n) \leqslant P\big(\bigcup_{k \geqslant m} A_k\big) \leqslant \sum_{k \geqslant m} P(A_k)$ , reste d'une série convergente.

(ii) Notons $p_k = P(A_k)$ . Les complémentaires $A_k^c$ sont indépendants (Indépendance), et, pour $m \leqslant n$ , $\begin{aligned} P\Big(\bigcap_{k=m}^n A_k^c\Big) &= \prod_{k=m}^n (1 - p_k) \\ &\leqslant \prod_{k=m}^n \frac{1}{1 + p_k} \\ &\leqslant \frac{1}{1 + \sum_{k=m}^n p_k}, \end{aligned}$ puisque $(1 - p)(1 + p) \leqslant 1$ et qu'en développant, $\prod (1 + p_k) \geqslant 1 + \sum p_k$ .

Le majorant tend vers $0$ quand $n \to \infty$ , donc $P\big(\bigcap_{k \geqslant m} A_k^c\big) = 0$ par continuité décroissante. Le complémentaire de $\limsup A_n$ est la réunion dénombrable de ces événements négligeables.

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Remarque

Pour des événements indépendants de probabilités $1/n$ , une infinité se produit presque sûrement, puisque $\sum 1/n = +\infty$ ; pour des probabilités $1/n^2$ , seulement un nombre fini. Ce sont les deux cas $\alpha = 1$ et $\alpha = 2$ des séries de Riemann (Séries et équivalents, (v)). Pour des événements indépendants, c'est une loi du tout ou rien : la probabilité de $\limsup A_n$ ne vaut que $0$ ou $1$ , ce que la loi du 0-1 généralisera.

Remarque

La démonstration de (ii) évite l'inégalité $1 - p \leqslant e^{-p}$ que l'on emploie d'ordinaire, bien que l'exponentielle soit disponible ici, puisqu'elle est construite en analyse réelle (Exponentielle), et que cette inégalité y soit démontrée (Croissances comparées, (i), avec $y = -p$ ) : la minoration $\prod(1 + p_k) \geqslant 1 + \sum p_k$ suffit et reste purement algébrique.

Repose sur

Indépendance d'événements et de tribus

Sert à

Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne Loi forte des grands nombres