Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne

(i) L'événement $\{X_n \to X\}$ est mesurable, comme $\bigcap_k \bigcup_m \bigcap_{n \geqslant m} \{|X_n - X| \leqslant 1/(k+1)\}$. Les événements $B_m = \bigcup_{n \geqslant m} \{|X_n - X| > \varepsilon\}$ décroissent vers un événement disjoint de $\{X_n \to X\}$, donc négligeable, et $P(|X_m - X| > \varepsilon) \leqslant P(B_m) \to 0$ par continuité décroissante.

(ii) Inégalité de Markov (Espérance, variance, (iii)).

(iii) Soit $n_0 = 0$ et, pour $k \geqslant 1$, $n_k$ le plus petit entier $n > n_{k-1}$ tel que $P(|X_m - X| > 2^{-k}) \leqslant 2^{-k}$ pour tout $m \geqslant n$ ; il existe par hypothèse, et aucun choix n'intervient. Comme $\sum_k 2^{-k} < +\infty$, le lemme de Borel-Cantelli (Borel-Cantelli, (i)) montre que, presque sûrement, $|X_{n_k} - X| \leqslant 2^{-k}$ à partir d'un certain rang.

(iv) Sur $[0, 1[$ muni de la mesure de Lebesgue, écrivons $n = 2^j + i$ avec $0 \leqslant i < 2^j$, et posons $X_n = \mathbf 1_{[i2^{-j}, (i+1)2^{-j}[}$. Alors $E[X_n] = 2^{-j} \to 0$ ; mais chaque $\omega$ appartient, pour chaque $j$, à l'un des intervalles de longueur $2^{-j}$, si bien que $X_n(\omega) = 1$ pour une infinité de $n$ et $X_n(\omega)$ ne tend vers $0$ pour aucun $\omega$.