Théorème 2Probabilités

Espérance, variance et inégalités

L'espérance d'une variable positive ou intégrable est $E[X] = \int_\Omega X \, dP$ . Si $E[X^2] < +\infty$ , $X$ est intégrable (point (ii)), et la variance est $\operatorname{Var} X = E\big[(X - E[X])^2\big] = E[X^2] - E[X]^2$ ; si $X$ et $Y$ sont de carré intégrable, leur covariance est $E[XY] - E[X]E[Y]$ , bien définie par (ii).

Énoncé

(i) Transfert. Pour $\varphi : {\mathbb R} \to \mathbb R$ borélienne, positive ou telle que $\varphi(X)$ soit intégrable, $E[\varphi(X)] = \int_{\mathbb R} \varphi \, dP_X$ . Il en va de même pour un couple et $\varphi$ mesurable sur ${\mathbb R^2}$ pour la tribu produit.

(ii) Si $E[X^2] < +\infty$ , $X$ est intégrable. Si de plus $E[Y^2] < +\infty$ , $XY$ est intégrable et $E[|XY|] \leqslant \sqrt{E[X^2]\,E[Y^2]}$ (Cauchy-Schwarz).

(iii) Markov, Bienaymé-Tchebychev. Pour $a > 0$ , $P(|X| \geqslant a) \leqslant E[|X|]/a$ , et $P\big(|X - E[X]| \geqslant a\big) \leqslant \operatorname{Var} X / a^2$ .

(iv) Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et intégrables, $XY$ est intégrable et $E[XY] = E[X]\,E[Y]$ . Par suite, si $X_1, \dots, X_n$ sont de carré intégrable et deux à deux indépendantes, $\operatorname{Var}(X_1 + \cdots + X_n) = \sum_i \operatorname{Var} X_i$ .

Démonstration

(i) Pour $\varphi = \mathbf 1_B$ , c'est la définition de $P_X$ . Par linéarité, la formule vaut pour les fonctions étagées positives, puis pour $\varphi \geqslant 0$ par convergence monotone (Convergence monotone), en approchant $\varphi$ par une suite croissante d'étagées, et enfin pour $\varphi$ intégrable en séparant $\varphi^+$ et $\varphi^-$ . Le cas d'un couple est identique.

(ii) $|X| \leqslant \frac12(1 + X^2)$ , donc $X$ est intégrable. De même $|XY| \leqslant \frac12(X^2 + Y^2)$ , donc $XY$ est intégrable, et le développement suivant porte sur des quantités finies. Pour tout réel $t$ , $\begin{aligned} 0 &\leqslant E\big[(|X| - t|Y|)^2\big] \\ &= E[X^2] - 2tE[|XY|] + t^2E[Y^2] ; \end{aligned}$ si $E[Y^2] > 0$ , on prend $t = E[|XY|]/E[Y^2]$ , et si $E[Y^2] = 0$ , alors $Y = 0$ presque partout et l'inégalité est triviale. La racine carrée existe par le théorème des valeurs intermédiaires (Valeurs intermédiaires).

(iii) $a\mathbf 1_{\{|X| \geqslant a\}} \leqslant |X|$ , puis on applique la première inégalité à $(X - E[X])^2$ et $a^2$ .

(iv) Par (i) et l'indépendance (Variables aléatoires, (iii)), $\begin{aligned} E[|XY|] &= \int |xy| \, d(P_X \otimes P_Y) \\ &= E[|X|]\,E[|Y|] \end{aligned}$ par le théorème de Tonelli, et $E[XY] = E[X]\,E[Y]$ par celui de Fubini (Tonelli, Fubini).

En développant le carré, la variance d'une somme est la somme des variances et des covariances, qui sont nulles.

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Remarque

Pour une variable de Bernoulli, $E[X] = p$ et $\operatorname{Var} X = p(1 - p)$ , qui vaut au plus $\frac14$ . Une variable binomiale a la loi d'une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes, et l'espérance et la variance ne dépendent que de la loi, par le transfert (i), d'où $E[S_n] = np$ et $\operatorname{Var} S_n = np(1 - p)$ , sans aucun calcul de somme.

Remarque

Pour une variable $T$ à valeurs dans ${\mathbb N}$ , $T = \sum_{k \geqslant 0} \mathbf 1_{\{T > k\}}$ , et la convergence monotone donne $E[T] = \sum_{k \geqslant 0} P(T > k)$ . Pour la loi géométrique, $P(T > k) = (1 - p)^k$ , d'où $E[T] = 1/p$ : il faut en moyenne six lancers pour obtenir un six.

Repose sur

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Mesure, intégration

Sert à

Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne Loi forte des grands nombres Lois de Poisson et loi exponentielle La loi normale Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding