Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass

(i) $E[S_n/n] = m$ et $\operatorname{Var}(S_n/n) = \sigma^2/n$ (Espérance, variance, (iv)) ; on applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

(ii) Fixons $x \in [0, 1]$. Sur l'ensemble fini $\Omega = \{0, 1\}^n$, muni de toutes ses parties, posons $P(\{\omega\}) = x^{|\omega|}(1 - x)^{n - |\omega|}$, où $|\omega|$ est le nombre de $1$ ; en développant $\prod_i \big(x + (1 - x)\big) = 1$, ces poids ont pour somme $1$.

Les coordonnées $\omega_i$ sont des variables de Bernoulli de paramètre $x$, indépendantes, car $P(\omega_1 = \varepsilon_1, \dots, \omega_n = \varepsilon_n)$ est le produit des $x^{\varepsilon_i}(1 - x)^{1 - \varepsilon_i}$. Leur somme $S_n$ vérifie $P(S_n = k) = N_{n,k}x^k(1 - x)^{n-k}$, d'où $$B_nf(x) = E[f(S_n/n)].$$

Soit $\varepsilon > 0$. Par le théorème de Heine (Théorème de Heine), il existe $\delta > 0$ tel que $|u - v| < \delta$ entraîne $|f(u) - f(v)| < \varepsilon$. Soit $\|f\| = \sup |f|$, fini par le théorème des bornes atteintes (Bornes atteintes).

En séparant les cas $|S_n/n - x| < \delta$ et $\geqslant \delta$, et par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, comme en (i), avec $\operatorname{Var}(S_n/n) = x(1 - x)/n \leqslant \frac1{4n}$, $$\begin{aligned} |B_nf(x) - f(x)| &\leqslant E\big[|f(S_n/n) - f(x)|\big] \\ &\leqslant \varepsilon + \frac{2\|f\|}{4n\delta^2}. \end{aligned}$$

La majoration ne dépend pas de $x$ : pour $n$ assez grand, $|B_nf - f| < 2\varepsilon$ sur $[0, 1]$. Un segment $[a, b]$, avec $a < b$, se ramène à $[0, 1]$ par la bijection $s \mapsto a + (b - a)s$, qui transforme les polynômes en polynômes.