Polynômes de Bernstein

(i) Chaque poids $b_{n,k}(x)$ est un produit de facteurs positifs, un entier naturel, $x^k$ et $(1 - x)^{n-k}$, puisque $x$ et $1 - x$ sont positifs : il est positif. Le binôme de Newton dans $\mathbb R$ (Binôme de Newton, (ii)), appliqué à $x$ et $1 - x$, donne $\sum_k b_{n,k}(x) = (x + 1 - x)^n = 1$, pour tout $n \geqslant 0$.

Pour $1 \leqslant k \leqslant n$, la relation $(k + 1)\binom{n+1}{k+1} = (n + 1)\binom nk$ du même nœud, (i), écrite aux rangs $n - 1$ et $k - 1$, donne $k\binom nk = n\binom{n-1}{k-1}$, d'où $$k\, b_{n,k}(x) = nx\, b_{n-1,k-1}(x),$$ et, en sommant sur $k$ de $1$ à $n$, $\sum_k k\, b_{n,k}(x) = nx$.

De même, pour $n \geqslant 2$ et $2 \leqslant k \leqslant n$, deux applications de cette relation donnent $k(k - 1)\, b_{n,k}(x) = n(n - 1)x^2\, b_{n-2,k-2}(x)$, d'où $\sum_k k(k - 1)\, b_{n,k}(x) = n(n - 1)x^2$, égalité vraie aussi pour $n = 1$, où les deux membres sont nuls. En développant $(k - nx)^2 = k(k - 1) + k - 2nxk + n^2x^2$, $$\begin{aligned} &\sum_k (k - nx)^2 b_{n,k}(x) \\ &\quad = n(n - 1)x^2 + nx - 2n^2x^2 + n^2x^2 \\ &\quad = nx(1 - x). \end{aligned}$$

(ii) La linéarité et la positivité viennent de la formule et de (i). Pour la fonction constante $1$, $B_n1 = \sum_k b_{n,k} = 1$, et pour $f(x) = x$, $B_nf(x) = \frac1n\sum_k k\,b_{n,k}(x) = x$. Enfin $b_{n,k}(0)$ vaut $1$ pour $k = 0$ et $0$ sinon, et de même en $1$ pour $k = n$.

(iii) Fixons $x$ et posons $u_k = |\frac kn - x|$. Par (i), $$\begin{aligned} &|B_nf(x) - f(x)| \\ &\quad = \Big|\sum_k \Big(f\Big(\frac kn\Big) - f(x)\Big) b_{n,k}(x)\Big| \\ &\quad \leqslant L\sum_k u_k\, b_{n,k}(x). \end{aligned}$$

Soit $m = \sum_k u_k\, b_{n,k}(x)$. Comme les poids sont positifs, de somme $1$, $$\begin{aligned} 0 &\leqslant \sum_k (u_k - m)^2 b_{n,k}(x) \\ &= \sum_k u_k^2\, b_{n,k}(x) - m^2, \end{aligned}$$ et le dernier point de (i), divisé par $n^2$, donne $m^2 \leqslant \frac{x(1 - x)}n$. Enfin $x(1 - x) = \frac14 - (x - \frac12)^2 \leqslant \frac14$.