Théorème 2Anneaux de polynômes

Propriété universelle et évaluation

Soit $\varphi : A \to B$ un morphisme d'anneaux, avec $B$ commutatif, et $b \in B$ . Pour $P = \sum_k a_kX^k \in {A[X]}$ , on pose $P(b) = \sum_k \varphi(a_k)\, b^k$ : c'est l'évaluation de $P$ en $b$ . Le plus souvent $A$ est un sous-anneau de $B$ et $\varphi$ l'inclusion ; pour $B = A$ , l'application $a \mapsto P(a)$ de $A$ dans $A$ est la fonction polynomiale associée à $P$ .

Énoncé

(i) Propriété universelle. L'application $\mathrm{ev}_b : P \mapsto P(b)$ est l'unique morphisme d'anneaux de $A[X]$ dans $B$ qui prolonge $\varphi$ et envoie $X$ sur $b$ . En particulier, $(P + Q)(b) = P(b) + Q(b)$ et $(PQ)(b) = P(b)\,Q(b)$ .

\begin{CD} A @>{\iota}>> A[X] \\ @V{\varphi}VV @VV{\mathrm{ev}_b}V \\ B @= B \end{CD}

Le diagramme, où $\iota$ est l'inclusion des constantes, commute : évaluer une constante $a$ , c'est calculer $\varphi(a)$ . Le morphisme $\mathrm{ev}_b$ est le seul à le rendre commutatif parmi ceux qui envoient $X$ sur $b$ .

(ii) Substitution. Pour $Q \in A[X]$ , l'application $P \mapsto P(Q)$ est un morphisme d'anneaux de $A[X]$ dans lui-même. Pour $c \in A$ , l'application $P \mapsto P(X + c)$ est un automorphisme d'anneaux de $A[X]$ , de réciproque $P \mapsto P(X - c)$ , qui conserve le degré et le coefficient dominant.

(iii) Plusieurs indéterminées. On pose $A[X_1, \dots, X_n] = A[X_1, \dots, X_{n-1}][X_n]$ , par récurrence sur $n$ . Pour tout morphisme d'anneaux $\varphi : A \to B$ , avec $B$ commutatif, et tous $b_1, \dots, b_n \in B$ , il existe un unique morphisme d'anneaux $A[X_1, \dots, X_n] \to B$ qui prolonge $\varphi$ et envoie chaque $X_i$ sur $b_i$ .

Démonstration

(i) L'application $\mathrm{ev}_b$ est additive. Elle est multiplicative, puisque, $B$ étant commutatif, $\begin{aligned} &\sum_k \Big(\sum_{i + j = k} \varphi(a_i)\varphi(c_j)\Big) b^k \\ &= \Big(\sum_i \varphi(a_i) b^i\Big)\Big(\sum_j \varphi(c_j) b^j\Big) \end{aligned}$ par la distributivité étendue aux sommes finies dans $B$ , l'égalité $b^ib^j = b^{i+j}$ et l'associativité généralisée, qui regroupe les termes selon $k = i + j$ (Sommes finies, (v), (vi) et (iii)) ; elle envoie $1$ sur $\varphi(1) = 1$ et $X$ sur $b$ .

Un morphisme qui prolonge $\varphi$ et envoie $X$ sur $b$ envoie $X^k$ sur $b^k$ et $\sum_k a_k X^k$ sur $\sum_k \varphi(a_k) b^k$ : il est unique.

(ii) La première assertion est (i) pour $B = A[X]$ , $\varphi$ l'inclusion des constantes et $b = Q$ .

La composée de $P \mapsto P(X + c)$ et de $P \mapsto P(X - c)$ , dans un ordre ou dans l'autre, est un morphisme d'anneaux qui fixe les constantes et envoie $X$ sur $(X \mp c) \pm c = X$ ; par l'unicité de (i), c'est l'identité.

Enfin $(X + c)^k$ est unitaire de degré $k$ , comme produit de polynômes unitaires (Anneau A[X], (ii)) ; donc, si $P = \sum_{k \leqslant n} a_kX^k$ avec $a_n \neq 0$ , le polynôme $P(X + c) = \sum_{k \leqslant n} a_k(X + c)^k$ a pour terme d'indice $n$ le seul $a_n$ , et pour termes d'indice supérieur des zéros.

(iii) Par récurrence sur $n$ , le cas $n = 1$ étant (i). L'hypothèse de récurrence fournit un unique morphisme $\psi : A[X_1, \dots, X_{n-1}] \to B$ qui prolonge $\varphi$ et envoie $X_i$ sur $b_i$ pour $i < n$ , et (i), appliqué à $\psi$ et à $b_n$ , le prolonge de manière unique en un morphisme qui envoie $X_n$ sur $b_n$ .

Un morphisme qui convient se restreint à $A[X_1, \dots, X_{n-1}]$ en un morphisme qui convient, égal à $\psi$ par unicité ; il est donc celui que donne (i).

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Remarque

Un polynôme n'est pas une fonction. Sur le corps ${\mathbb Z/2\mathbb Z}$ (ℤ/nℤ), le polynôme $X^2 + X$ est non nul, mais sa fonction polynomiale est nulle, puisqu'elle s'annule en $\overline 0$ et en $\overline 1$ . C'est l'erreur la plus répandue, et la raison pour laquelle on définit les polynômes par leurs coefficients ; le nœud Racines montrera que la confusion devient sans danger sur un anneau intègre infini.

Remarque

La propriété (i) servira à construire $\mathbb C$ comme quotient de $\mathbb R[X]$ , et (iii) à évaluer les polynômes en des points de ${K^n}$ en géométrie algébrique. La commutativité de $B$ est indispensable : pour deux matrices $M$ et $N$ qui ne commutent pas, l'évaluation de $XY$ et de $YX$ en $(M, N)$ donnerait $MN \neq NM$ , alors que $XY = YX$ .

Repose sur

L'anneau A[X], degré et intégrité

Sert à

Racines et multiplicités Contenu et lemme de Gauss