Contenu et lemme de Gauss

(i) Chaque $a_k$ s'écrit $c\,b_k$, avec $c = c(P)$ ; posons $P_0 = \sum_k b_kX^k$. Si l'idéal engendré par les $b_k$ est $d\,\mathbb Z$, celui qu'engendrent les $a_k$ est $cd\,\mathbb Z$ ; donc $cd = c$, et $d = 1$ par intégrité de $\mathbb Z$. Le même calcul montre que $c(aR) = |a|$ pour $a \in \mathbb Z$ non nul et $R$ primitif.

(ii) Soient $P$ et $Q$ primitifs. Le produit $PQ$ est non nul (Anneau A[X], (iii)). Si l'on avait $c(PQ) \geqslant 2$, un nombre premier $p$ diviserait $c(PQ)$ (Nombres premiers, (ii)), donc tous les coefficients de $PQ$, et $\pi(P)\pi(Q) = \pi(PQ) = 0$.

Comme $\mathbb Z/p\mathbb Z$ est un corps (ℤ/nℤ), l'anneau $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X]$ est intègre (Anneau A[X], (iii)) : $\pi(P) = 0$ ou $\pi(Q) = 0$, c'est-à-dire que $p$ divise tous les coefficients de $P$ ou tous ceux de $Q$, ce qui contredit leur primitivité.

En général, $PQ = c(P)c(Q)\,P_0Q_0$ avec $P_0Q_0$ primitif, donc $c(PQ) = c(P)c(Q)$ par la fin de (i).

(iii) Soit $v \geqslant 1$ le produit des dénominateurs d'écritures $u_k/v_k$ des coefficients de $P$ ; alors $vP \in \mathbb Z[X]$, et $vP = c(vP)\,P_0$ par (i), d'où $\lambda = c(vP)/v$.

Si $\lambda P_0 = \mu Q_0$ avec $Q_0$ primitif, écrivons $\mu/\lambda = a/b$ avec $a, b \in \mathbb Z$ non nuls ; alors $bP_0 = aQ_0$ dans $\mathbb Z[X]$, et les contenus donnent $|b| = |a|$. Ainsi $a = \pm b$, puis $Q_0 = \pm P_0$ par intégrité.

(iv) Soit $P = AB$ dans $F[X]$, avec $\deg A = r$ et $\deg B = s$. Par (iii), $A = \alpha A_0$ et $B = \beta B_0$, avec $A_0$, $B_0$ primitifs de degrés $r$ et $s$, et $P = (\alpha\beta)\,A_0B_0$, où $A_0B_0$ est primitif par (ii).

Mais aussi $P = c(P)\,P_0$ par (i) ; l'unicité de (iii) donne $A_0B_0 = \pm P_0$, d'où $P = \big(\pm c(P)A_0\big)\,B_0$, produit de deux polynômes de $\mathbb Z[X]$ de degrés $r$ et $s$.