Proposition 8Structures algébriques

Corps

Un corps est un anneau commutatif $K$ dans lequel $1 \neq 0$ et où tout élément non nul est inversible : $K^\times = K \setminus \{0\}$ .

Énoncé

(i) Un corps est intègre.

(ii) Un anneau commutatif $A$ est un corps si et seulement si $A \neq \{0\}$ et si ses seuls idéaux sont $\{0\}$ et $A$ .

(iii) Tout morphisme d'anneaux d'un corps vers un anneau non nul est injectif.

Démonstration

(i) Si $xy = 0$ et $x \neq 0$ , alors $y = x^{-1}(xy) = x^{-1} \cdot 0 = 0$ .

(ii) Dans un corps, un idéal non nul contient un élément non nul, donc inversible, et vaut $K$ (Idéal). Réciproquement, si $A \neq \{0\}$ n'a que ces deux idéaux et si $x \neq 0$ , l'idéal $xA$ n'est pas $\{0\}$ , donc vaut $A$ : il contient $1$ , et $1 = xa$ pour un $a$ , ce qui rend $x$ inversible. Enfin $1 \neq 0$ puisque $A \neq \{0\}$ .

(iii) Le noyau est un idéal du corps ; ce n'est pas $K$ , puisque $f(1) = 1 \neq 0$ dans un anneau non nul. C'est donc $\{0\}$ , et le morphisme est injectif.

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Remarque

On suit l'usage actuel, où un corps est commutatif. Un anneau non nul, non nécessairement commutatif, dont tout élément non nul est inversible s'appelle un anneau à division ; les quaternions de Hamilton en sont l'exemple classique.

Remarque

Pour un ensemble $\{p\}$ à un élément, l'anneau commutatif ${\mathcal P}(\{p\}) = \{\varnothing, \{p\}\}$ , muni de la différence symétrique $\triangle$ et de l'intersection (Anneaux, (v)), est un corps à deux éléments, de zéro $\varnothing$ et d'unité $\{p\}$ , dans lequel $1 + 1 = 0$ . En effet, son unité $\{p\}$ diffère de son zéro $\varnothing$ , et son seul élément non nul, l'unité, est son propre inverse, puisque $\{p\} \cap \{p\} = \{p\}$ ; enfin $\{p\} \mathbin{\triangle} \{p\} = \varnothing$ . On note souvent $0$ et $1$ ses deux éléments.

Repose sur

Idéaux d'un anneau commutatif

Sert à

Idéaux premiers et maximaux Corps des fractions d'un anneau intègre