Théorème 7Les entiers relatifs

Les anneaux ℤ/nℤ

Énoncé

Soit $n \geqslant 1$ . L'anneau quotient ${\mathbb Z/n\mathbb Z}$ a pour éléments les classes $\overline 0, \overline 1, \dots, \overline{n - 1}$ , deux à deux distinctes. Deux entiers $a$ et $b$ sont congrus modulo $n$ , ce que l'on note $a \equiv b \pmod n$ , si $n$ divise $a - b$ , c'est-à-dire si $a$ et $b$ ont la même classe. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $n$ est premier ;

(ii) $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est intègre ;

(iii) $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est un corps.

Démonstration

$n{\mathbb Z}$ est un idéal, et $\mathbb Z/n\mathbb Z$ un anneau (Anneau quotient). Par division euclidienne, tout $a$ est congru à son reste $r \in \{0, \dots, n - 1\}$ ; deux restes distincts $r < r'$ ne sont pas congrus, puisque $0 < r' - r < n$ n'est pas multiple de $n$ .

Les idéaux de $\mathbb Z$ contenant $n\mathbb Z$ sont les $d\mathbb Z$ avec $d \in {\mathbb N}$ et $d \mid n$ (Idéaux de ℤ). Si $n$ est premier, ce sont $n\mathbb Z$ et $\mathbb Z$ : l'idéal $n\mathbb Z$ est maximal, et $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est un corps. Un corps est intègre.

Si $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est intègre, $n\mathbb Z$ est premier (Idéaux premiers, maximaux) ; alors $n \neq 1$ , et si $n = ab$ avec $a, b \in \mathbb N$ , $n$ divise $a$ ou $b$ , ce qui impose $b = 1$ ou $a = 1$ : $n$ est premier.

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Remarque

Dans $\mathbb Z/6\mathbb Z$ , on a $\overline 2 \cdot \overline 3 = \overline 0$ : l'anneau n'est pas intègre, conformément au théorème. Dans $\mathbb Z/7\mathbb Z$ , l'inverse de $\overline 3$ est $\overline 5$ , car $3 \cdot 5 = 15 = 2 \cdot 7 + 1$ ; une relation de Bézout le fournit en général.

Remarque

Le groupe additif $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est le premier exemple de groupe quotient annoncé au nœud Groupe quotient, et les corps $\mathbb Z/p\mathbb Z$ sont les premiers corps finis.

Repose sur

Les idéaux de ℤ sont principaux Théorème fondamental de l'arithmétique

Sert à

Anneaux de polynômes