Anneau quotient et théorème d'isomorphisme

Le groupe $(A, +)$ est abélien, donc $I$ y est distingué, et $A/I$ est un groupe additif, de classes $x + I$ (Groupe quotient).

Le produit est bien défini. Si $x - x' \in I$ et $y - y' \in I$, alors $$xy - x'y' = x(y - y') + (x - x')y',$$ somme de deux éléments de $I$. On définit le produit sur $A/I$ par son graphe, comme pour la somme.

Associativité, commutativité, distributivité et neutralité de $1 + I$ se lisent sur les représentants : par exemple $$\begin{aligned} &\pi(x)(\pi(y) + \pi(z)) = \pi(x(y + z)) \\ &\quad = \pi(xy + xz) \\ &\quad = \pi(x)\pi(y) + \pi(x)\pi(z). \end{aligned}$$ Par construction, $\pi$ est un morphisme d'anneaux, de noyau $I$.

Isomorphisme. L'image $\operatorname{Im} f$ est un sous-anneau de $A'$ : c'est un sous-groupe additif (Morphisme, (iii)), qui contient $f(1) = 1$ et $f(x)f(y) = f(xy)$. Le noyau $\operatorname{Ker} f$ est un idéal (Idéal), et le nœud Théorème d'isomorphisme, appliqué au groupe additif, fournit un isomorphisme de groupes $\bar f : A/\operatorname{Ker} f \to \operatorname{Im} f$, avec $\bar f(\pi(x)) = f(x)$. Il respecte le produit, puisque $\bar f(\pi(x)\pi(y)) = f(xy) = f(x)f(y)$, et envoie $\pi(1)$ sur $1$.