ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

Proposition 4Structures algébriques

Morphismes de groupes

Un morphisme de groupes est une application f:G→G′f : G \to G' telle que f(xy)=f(x)f(y)f(xy) = f(x)f(y) pour tous x,y∈Gx, y \in G. Son noyau est Ker⁡f=f−1({e′})\operatorname{Ker} f = f^{-1}(\{e'\}) et son image Im⁡f=f(G)\operatorname{Im} f = f(G). Un isomorphisme est un morphisme bijectif.

Énoncé

Soit f:G→G′f : G \to G' un morphisme.

(i) f(e)=e′f(e) = e' et f(x−1)=f(x)−1f(x^{-1}) = f(x)^{-1} pour tout xx.

(ii) La composée de deux morphismes est un morphisme, et la réciproque d'un isomorphisme est un morphisme.

(iii) L'image d'un sous-groupe de GG est un sous-groupe de G′G' ; l'image réciproque d'un sous-groupe de G′G' est un sous-groupe de GG. En particulier, Ker⁡f\operatorname{Ker} f et Im⁡f\operatorname{Im} f sont des sous-groupes.

(iv) ff est injective si et seulement si Ker⁡f={e}\operatorname{Ker} f = \{e\}.

Démonstration

(i) f(e)=f(ee)=f(e)f(e)f(e) = f(ee) = f(e)f(e) ; en multipliant par f(e)−1f(e)^{-1}, on obtient e′=f(e)e' = f(e). Puis f(x)f(x−1)=f(xx−1)=f(e)=e′f(x)f(x^{-1}) = f(xx^{-1}) = f(e) = e', et de même dans l'autre ordre.

(ii) (g∘f)(xy)=g(f(x)f(y))=g(f(x)) g(f(y))(g \circ f)(xy) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))\,g(f(y)). Si ff est bijective, soient x′,y′∈G′x', y' \in G', et x=f−1(x′)x = f^{-1}(x'), y=f−1(y′)y = f^{-1}(y'). Alors f(xy)=x′y′f(xy) = x'y', donc f−1(x′y′)=xy=f−1(x′)f−1(y′)f^{-1}(x'y') = xy = f^{-1}(x')f^{-1}(y').

(iii) Si HH est un sous-groupe, f(H)f(H) contient f(e)=e′f(e) = e', et pour f(x),f(y)∈f(H)f(x), f(y) \in f(H), on a f(x)f(y)−1=f(xy−1)∈f(H)f(x)f(y)^{-1} = f(xy^{-1}) \in f(H).

Si H′H' est un sous-groupe de G′G', f−1(H′)f^{-1}(H') contient ee, et pour x,y∈f−1(H′)x, y \in f^{-1}(H'), f(xy−1)=f(x)f(y)−1∈H′f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} \in H'. On applique le critère du nœud Sous-groupe.

(iv) Si ff est injective, f(x)=e′=f(e)f(x) = e' = f(e) entraîne x=ex = e. Réciproquement, si Ker⁡f={e}\operatorname{Ker} f = \{e\} et f(x)=f(y)f(x) = f(y), alors f(x−1y)=f(x)−1f(y)=e′f(x^{-1}y) = f(x)^{-1}f(y) = e', donc x−1y=ex^{-1}y = e et x=yx = y.

□
Remarque

Le point (iv) est l'outil de base pour prouver qu'un morphisme est injectif : on remplace l'égalité de deux images quelconques par l'étude d'une seule équation, f(x)=e′f(x) = e'.

Remarque

Deux groupes isomorphes ont exactement les mêmes propriétés exprimables à partir de la loi. On dit qu'ils ne diffèrent que par le nom de leurs éléments, ce qui justifie qu'on les identifie souvent.

Repose sur

Sous-groupes

Sert à

Classes modulo un sous-groupe, sous-groupes distinguésMorphismes d'anneaux, sous-anneaux
Ouvrir dans l'atlas interactif →