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Théorème 2Structures algébriques

Factorisation et premier théorème d'isomorphisme

Énoncé

Soit f:G→G′f : G \to G' un morphisme et H⊴GH \trianglelefteq G tel que H⊂Ker⁡fH \subset \operatorname{Ker} f. Il existe un unique morphisme fˉ:G/H→G′\bar f : G/H \to G' tel que fˉ∘π=f\bar f \circ \pi = f. Si H=Ker⁡fH = \operatorname{Ker} f, il est injectif, et ff induit un isomorphisme G/Ker⁡f  ≅  Im⁡f.G/\operatorname{Ker} f \;\cong\; \operatorname{Im} f.

G→fG′π↓↑ιG/Ker⁡f→fˉIm⁡f\begin{CD} G @>{f}>> G' \\ @V{\pi}VV @AA{\iota}A \\ G/\operatorname{Ker} f @>{\bar f}>> \operatorname{Im} f \end{CD} Le morphisme ff se décompose ainsi en la surjection canonique π\pi, l'isomorphisme fˉ\bar f et l'inclusion ι\iota de Im⁡f\operatorname{Im} f dans G′G'.

Démonstration

Si x∼Hyx \sim_H y, alors x−1y∈H⊂Ker⁡fx^{-1}y \in H \subset \operatorname{Ker} f, donc f(x)−1f(y)=e′f(x)^{-1}f(y) = e' et f(x)=f(y)f(x) = f(y) : ff est constante sur les classes.

Le nœud Passage au quotient fournit une unique application fˉ\bar f telle que fˉ∘π=f\bar f \circ \pi = f. C'est un morphisme, puisque π\pi en est un (Groupe quotient) : fˉ(π(x)π(y))=fˉ(π(xy))=f(xy)=f(x)f(y)=fˉ(π(x)) fˉ(π(y)).\begin{aligned} \bar f(\pi(x)\pi(y)) &= \bar f(\pi(xy)) = f(xy) \\ &= f(x)f(y) \\ &= \bar f(\pi(x))\,\bar f(\pi(y)). \end{aligned}

Si H=Ker⁡fH = \operatorname{Ker} f, l'égalité f(x)=f(y)f(x) = f(y) équivaut à x−1y∈Ker⁡fx^{-1}y \in \operatorname{Ker} f, c'est-à-dire à x∼Hyx \sim_H y : fˉ\bar f est injective par le critère du même nœud. Son image est celle de ff, et fˉ\bar f, vue comme application de G/Ker⁡fG/\operatorname{Ker} f dans Im⁡f\operatorname{Im} f, est un morphisme bijectif.

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Remarque

En pratique, on prouve qu'un groupe quotient G/HG/H est isomorphe à un groupe connu KK en construisant un morphisme surjectif de GG sur KK de noyau HH, plutôt qu'en manipulant des classes. On en verra un exemple au nœud Polynôme minimal, (ii), où l'évaluation en α\alpha identifie K[X]/(μα)K[X]/(\mu_\alpha) à K[α]K[\alpha].

Remarque

Le morphisme n'a pas besoin d'être surjectif pour que le théorème s'applique : c'est alors à son image, et non au groupe d'arrivée, que le quotient s'identifie, comme le montre l'exemple suivant dans 𝔖({a,b,c})\mathfrak S(\{a, b, c\}).

id τab ∘ τbc τbc ∘ τab τab τbc τac H = Ker f τabH G G′ id τab τab ∘ τbc τbc ∘ τab τbc τac Im f f f
Soit H={id,τab∘τbc,τbc∘τab}H = \{\mathrm{id}, \tau_{ab} \circ \tau_{bc}, \tau_{bc} \circ \tau_{ab}\}, et ff l'application de G=𝔖({a,b,c})G = \mathfrak S(\{a, b, c\}) dans G′=GG' = G qui envoie les éléments de HH sur id\mathrm{id} et les trois autres sur τab\tau_{ab}. C'est un morphisme de noyau HH : comme xH=G∖HxH = G \setminus H pour x∉Hx \notin H, le produit xyxy est dans HH exactement quand xx et yy sont tous deux dans HH ou tous deux hors de HH, et τab∘τab=id\tau_{ab} \circ \tau_{ab} = \mathrm{id}. Chaque flèche part d'une classe entière, sur laquelle ff est constante, et les deux classes ont des images distinctes : fˉ\bar f identifie G/HG/H à Im⁡f={id,τab}\operatorname{Im} f = \{\mathrm{id}, \tau_{ab}\}, et les quatre autres éléments de G′G' ne sont pas atteints.

Repose sur

Groupe quotient

Sert à

Anneau quotient et théorème d'isomorphisme
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