Théorème 2Théorie de Galois

Éléments algébriques et polynôme minimal

Rappelons qu'un polynôme non constant $P \in {K[X]}$ est irréductible s'il n'est pas produit de deux polynômes de degrés strictement plus petits (Irréductibles). Un élément $\alpha \in L$ est algébrique sur $K$ s'il annule un polynôme non nul de $K[X]$ ; le polynôme minimal $\mu_\alpha$ est le polynôme unitaire qui engendre l'idéal $\{P \in K[X] : P(\alpha) = 0\}$ .

Énoncé

(i) Tout idéal de $K[X]$ est engendré par un polynôme. Si $\alpha$ est algébrique, $\mu_\alpha$ existe, est irréductible, et $P(\alpha) = 0$ équivaut à $\mu_\alpha \mid P$ .

(ii) Si $\alpha$ est algébrique de degré $d = \deg\mu_\alpha$ , alors ${K(\alpha)} = K[\alpha] \cong K[X]/(\mu_\alpha)$ , et $(1, \alpha, \dots, \alpha^{d-1})$ est une base de $K(\alpha)$ sur $K$ : $[K(\alpha):K] = d$ .

(iii) Si $P \in K[X]$ est irréductible, $K[X]/(P)$ est un corps, extension de $K$ de degré $\deg P$ , dans lequel la classe de $X$ est une racine de $P$ : c'est un corps de rupture.

(iv) Toute extension finie est algébrique, et les éléments de $L$ algébriques sur $K$ forment un sous-corps.

Démonstration

(i) La première assertion est le point (i) du nœud K[X] principal. L'idéal annulateur de $\alpha$ est engendré par un polynôme qu'on rend unitaire. Si $\mu_\alpha = FG$ avec $\deg F, \deg G < \deg\mu_\alpha$ , alors $F(\alpha)G(\alpha) = 0$ dans le corps $L$ , et l'un des facteurs annule $\alpha$ sans être multiple de $\mu_\alpha$ : contradiction.

(ii) L'évaluation $K[X] \to L$ , $P \mapsto P(\alpha)$ , a pour noyau $(\mu_\alpha)$ et pour image $K[\alpha]$ ; donc $K[\alpha] \cong K[X]/(\mu_\alpha)$ (Anneau quotient).

L'idéal $(\mu_\alpha)$ est maximal : si $(\mu_\alpha) \subsetneq (Q)$ , alors $Q$ divise $\mu_\alpha$ sans lui être associé, donc $Q$ est constant par irréductibilité, et $(Q) = K[X]$ . Le quotient est un corps (Idéaux premiers et maximaux), donc $K[\alpha]$ est un corps contenant $K$ et $\alpha$ , égal à $K(\alpha)$ . Par division euclidienne par $\mu_\alpha$ , tout élément s'écrit de façon unique $R(\alpha)$ avec $\deg R < d$ .

(iii) Même argument appliqué à l'idéal maximal $(P)$ ; $K$ s'y plonge par les constantes, et $P(\bar X) = \overline{P(X)} = 0$ .

(iv) Si $[L:K] = n$ , les $n + 1$ éléments $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ sont liés, ce qui donne un polynôme non nul de $K[X]$ qui annule $\alpha$ . Si $\alpha$ et $\beta$ sont algébriques, $K(\alpha, \beta)$ est fini sur $K$ , de degré au plus $\deg\mu_\alpha \cdot \deg\mu_\beta$ par multiplicativité (Extensions, degré) ; il contient $\alpha \pm \beta$ , $\alpha\beta$ et $\alpha^{-1}$ , qui sont donc algébriques.

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Remarque

Le polynôme minimal de $\sqrt 2 + \sqrt 3$ sur ${\mathbb Q}$ est $X^4 - 10X^2 + 1$ : en élevant $x - \sqrt 2 = \sqrt 3$ au carré, puis $x^2 - 1 = 2\sqrt 2\,x$ au carré, on obtient ce polynôme.

Il est irréductible sur $\mathbb Q$ . Par le lemme de Gauss (Lemme de Gauss, (iv)), une factorisation dans $\mathbb Q[X]$ en donne une dans $\mathbb Z[X]$ , de mêmes degrés, dont les coefficients dominants ont pour produit $1$ ; quitte à changer les deux signes, les facteurs sont unitaires. Un facteur de degré $1$ serait $X - r$ avec $r$ entier divisant $1$ , or $1 - 10 + 1 = -8 \neq 0$ . Un facteur de degré $2$ donnerait une écriture $(X^2 + aX + b)(X^2 - aX + c)$ à coefficients entiers, le coefficient de $X^3$ étant nul, avec $bc = 1$ , $a(c - b) = 0$ et $b + c - a^2 = -10$ . Comme $bc = 1$ force $b = c = \pm 1$ , on aurait $a^2 = 12$ ou $8$ , ce qui est impossible.

Ainsi $\mathbb Q(\sqrt 2 + \sqrt 3)$ est de degré $4$ , donc égal à $\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$ .

Repose sur

Extensions de corps et multiplicativité des degrés

Sert à

Corps de décomposition