Théorème 6Anneaux de polynômes

Polynômes irréductibles et factorisation unique

Soit $K$ un corps. Un polynôme non constant $P \in {K[X]}$ est irréductible s'il n'est pas le produit de deux polynômes de degrés strictement inférieurs au sien. Comme $\deg D + \deg E = \deg P$ quand $P = DE$ (Anneau A[X], (iii)), cela revient à dire que les seuls diviseurs de $P$ sont les constantes non nulles et les polynômes associés à $P$ .

Énoncé

(i) Lemme d'Euclide. Si $P$ est irréductible et divise $AB$ , il divise $A$ ou $B$ .

(ii) Factorisation. Tout polynôme non constant $P$ s'écrit $P = c\,P_1 \cdots P_r$ , avec $c \in K$ non nul et $P_1, \dots, P_r$ irréductibles unitaires, et cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près. En regroupant les facteurs égaux, $P = c\prod_i P_i^{m_i}$ avec des $P_i$ deux à deux distincts.

(iii) Tout polynôme de degré $1$ est irréductible. Un polynôme de degré $2$ ou $3$ est irréductible si et seulement s'il n'a pas de racine dans $K$ .

Démonstration

(i) Le PGCD $P \wedge A$ divise $P$ (K[X] principal, (ii)) ; il est donc $1$ , ou associé à $P$ , auquel cas $P$ divise $A$ . S'il vaut $1$ , le lemme de Gauss (K[X] principal, (iii)) donne $P \mid B$ .

(ii) Existence. Sinon, soit $n$ le plus petit degré d'un polynôme non constant sans telle écriture, et $P$ un tel polynôme (Bon ordre sur ℕ). Il n'est pas irréductible, sans quoi $P = c \cdot (c^{-1}P)$ , avec $c$ son coefficient dominant, conviendrait. Donc $P = DE$ avec $1 \leqslant \deg D, \deg E < n$ ; par minimalité, $D$ et $E$ s'écrivent comme annoncé, et leur produit aussi : contradiction.

Unicité. La constante $c$ est le coefficient dominant de $P$ , puisqu'un produit de polynômes unitaires est unitaire.

Supposons $P_1 \cdots P_r = Q_1 \cdots Q_s$ , produits d'irréductibles unitaires, et raisonnons par récurrence sur $r$ . Si $r = 0$ , le membre de droite est de degré $0$ , donc $s = 0$ .

Sinon, par (i), étendu à un produit quelconque par récurrence sur le nombre de facteurs, $P_1$ divise l'un des $Q_j$ ; comme $Q_j$ est irréductible et $P_1$ non constant, ils sont associés, donc égaux puisque tous deux unitaires. On simplifie par $P_1$ , ce que permet l'intégrité de $K[X]$ , et l'on conclut par l'hypothèse de récurrence.

(iii) Si $\deg P = 1$ , une écriture $P = DE$ avec $\deg D, \deg E < 1$ donnerait $\deg P = \deg D + \deg E \leqslant 0$ .

Soit $P$ de degré $2$ ou $3$ . S'il n'est pas irréductible, $P = DE$ avec $\deg D + \deg E = \deg P$ et $1 \leqslant \deg D, \deg E$ : l'un des facteurs est de degré $1$ , de la forme $\alpha X + \beta$ avec $\alpha \neq 0$ , et $-\alpha^{-1}\beta$ est racine de ce facteur, donc de $P$ .

Réciproquement, si $P(a) = 0$ , alors $P = (X - a)Q$ (Racines, (i)), avec $1 \leqslant \deg Q < \deg P$ : $P$ n'est pas irréductible.

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Remarque

L'irréductibilité dépend du corps. Le polynôme $X^2 + 1$ est irréductible sur ${\mathbb Z/3\mathbb Z}$ , où il prend les valeurs $\overline 1$ , $\overline 2$ , $\overline 2$ en $\overline 0$ , $\overline 1$ , $\overline 2$ ; sur $\mathbb Z/5\mathbb Z$ , il s'écrit $(X - \overline 2)(X - \overline 3)$ , puisque $\overline 4 + \overline 1 = \overline 0$ .

Sur les corps réels et complexes, la réponse sera donnée par le théorème de d'Alembert-Gauss.

Remarque

Le critère (iii) ne s'étend pas au degré $4$ , et l'erreur la plus répandue est de conclure à l'irréductibilité faute de racine. Sur $\mathbb Z/3\mathbb Z$ , le polynôme $X^4 + 1$ n'a pas de racine, puisqu'il prend les valeurs $\overline 1$ , $\overline 2$ , $\overline 2$ , et pourtant $X^4 + 1 = (X^2 + X + \overline 2)(X^2 + \overline 2X + \overline 2)$ : il est produit de deux facteurs de degré $2$ sans racine.

Remarque

La démonstration est celle du théorème fondamental de l'arithmétique (Nombres premiers), mot pour mot : les irréductibles unitaires jouent le rôle des nombres premiers, et le lemme d'Euclide vient, dans les deux cas, de Bézout, donc de la division euclidienne.

Repose sur

K[X] est principal ; PGCD et Bézout Racines et multiplicités

Sert à

Critère d'Eisenstein