Théorème 5Anneaux de polynômes

Racines et multiplicités

Soit $P \in {A[X]}$ et $a \in A$ . On dit que $a$ est une racine de $P$ si $P(a) = 0$ . Pour $P \neq 0$ , la multiplicité de $a$ dans $P$ est le plus grand entier $m$ tel que $(X - a)^m$ divise $P$ ; elle existe, car $(X - a)^m$ est unitaire de degré $m$ , de sorte que $(X - a)^m \mid P$ impose $m \leqslant \deg P$ (Anneau A[X], (ii)).

La racine $a$ est simple si $m = 1$ , multiple si $m \geqslant 2$ ; $m = 0$ signifie que $a$ n'est pas racine, comme le montre (i).

Un polynôme non nul $P$ est scindé sur $A$ s'il s'écrit $P = c\prod_{i=1}^d (X - \alpha_i)$ avec $c, \alpha_1, \dots, \alpha_d \in A$ et $d = \deg P$ ; les $\alpha_i$ sont alors des racines de $P$ , par (i).

Énoncé

(i) Racine et facteur. Le reste de la division de $P$ par $X - a$ est la constante $P(a)$ . Ainsi $a$ est racine de $P$ si et seulement si $X - a$ divise $P$ .

(ii) $a$ est de multiplicité $m$ dans $P \neq 0$ si et seulement si $P = (X - a)^m\,Q$ avec $Q(a) \neq 0$ .

(iii) Supposons $A$ intègre. Si $a_1, \dots, a_k$ sont des racines deux à deux distinctes de $P \neq 0$ , de multiplicités $m_1, \dots, m_k$ , alors $\prod_{i=1}^k (X - a_i)^{m_i}$ divise $P$ , et $m_1 + \cdots + m_k \leqslant \deg P$ . En particulier, un polynôme non nul de degré $d$ a au plus $d$ racines dans $A$ .

(iv) Si $A$ est intègre et infini, un polynôme dont la fonction polynomiale est nulle est le polynôme nul, et deux polynômes qui ont la même fonction polynomiale sont égaux.

Démonstration

(i) Le polynôme $X - a$ est unitaire ; la division euclidienne (Division des polynômes, (i)) donne $P = (X - a)Q + R$ avec $\deg R < 1$ , c'est-à-dire $R = r$ constant. L'évaluation en $a$ est un morphisme d'anneaux (Évaluation, (i)), d'où $P(a) = 0 \cdot Q(a) + r = r$ . Si $P(a) = 0$ , $P = (X - a)Q$ ; réciproquement, si $P = (X - a)Q$ , alors $P(a) = 0$ .

(ii) Si $m$ est la multiplicité, $P = (X - a)^mQ$ ; si l'on avait $Q(a) = 0$ , (i) donnerait $Q = (X - a)Q_1$ , et $(X - a)^{m+1}$ diviserait $P$ .

Réciproquement, soit $P = (X - a)^mQ$ avec $Q(a) \neq 0$ ; la multiplicité est au moins $m$ . Si l'on avait $P = (X - a)^{m+1}R$ , alors $(X - a)^m\big(Q - (X - a)R\big) = 0$ ; le produit d'un polynôme unitaire par un polynôme non nul étant non nul (Anneau A[X], (ii)), $Q = (X - a)R$ , et $Q(a) = 0$ : contradiction.

(iii) Par récurrence sur $k$ , le cas $k = 0$ étant clair, le produit vide valant $1$ . Par (ii), $P = (X - a_1)^{m_1}Q$ avec $Q(a_1) \neq 0$ .

Pour $i \geqslant 2$ , soit $n_i$ la multiplicité de $a_i$ dans $Q$ , et $Q = (X - a_i)^{n_i}Q_i$ avec $Q_i(a_i) \neq 0$ . Alors $P = (X - a_i)^{n_i}\,(X - a_1)^{m_1}Q_i$ , et le second facteur prend en $a_i$ la valeur $(a_i - a_1)^{m_1}Q_i(a_i)$ , non nulle par intégrité puisque $a_i \neq a_1$ .

Par (ii), $n_i = m_i$ : les $a_i$ , $i \geqslant 2$ , sont racines de $Q$ avec les multiplicités $m_i$ . Par hypothèse de récurrence, $\prod_{i \geqslant 2}(X - a_i)^{m_i}$ divise $Q$ , et le produit complet divise $P$ .

Si $P = \prod_i (X - a_i)^{m_i}\,S$ , alors $S \neq 0$ et, par Anneau A[X], (iii), $\deg P = \sum_i m_i + \deg S \geqslant \sum_i m_i.$ Chaque racine ayant une multiplicité au moins égale à $1$ , il y en a au plus $\deg P$ .

(iv) Un polynôme non nul de degré $d$ a au plus $d$ racines, alors que $A$ , infini, contient $d + 1$ éléments distincts. En effet, par récurrence sur $k$ , il existe une injection de $k$ dans $A$ : l'image d'une telle injection est finie (Ensembles finis), donc distincte de $A$ , et l'on prolonge l'injection en envoyant $k$ sur un élément hors de cette image. Si sa fonction polynomiale était nulle, ils seraient tous racines. Pour la seconde assertion, on applique la première à $P - Q$ , l'évaluation étant additive.

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Remarque

L'intégrité ne peut pas être omise dans (iii). Dans ${\mathbb Z/8\mathbb Z}$ , le polynôme $X^2 - 1$ , de degré $2$ , a quatre racines, $\overline 1$ , $\overline 3$ , $\overline 5$ et $\overline 7$ ; la preuve échoue parce que $(\overline 3 - \overline 1)(\overline 3 + \overline 1) = \overline 8 = \overline 0$ sans qu'aucun facteur soit nul. Dans le corps $\mathbb Z/7\mathbb Z$ , il n'en a que deux.

Les classes de carré

\overline 1

, racines de

X^2 - 1

, sont en rouge, et les flèches les relient à

\overline 1

. Dans le corps

\mathbb Z/7\mathbb Z

, il n'y a que

\overline 1

\overline 6 = -\overline 1

; dans

\mathbb Z/8\mathbb Z

, qui n'est pas intègre, il y en a quatre, plus que le degré de

X^2 - 1

Remarque

Dans ${\mathbb Z}[X]$ , $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ : la racine $1$ est double, la racine $-2$ simple, et la somme des multiplicités atteint le degré $3$ . Le nœud Dérivée formelle reconnaîtra la racine double sans factoriser.

Remarque

L'hypothèse « infini » de (iv) est nécessaire, comme le montrait le polynôme $X^2 + X$ sur $\mathbb Z/2\mathbb Z$ (Évaluation). La borne de (iii) sera décisive pour les corps finis : elle force le groupe multiplicatif d'un corps fini à être cyclique (Groupe multiplicatif, (iii)).

Repose sur

Propriété universelle et évaluation Division euclidienne des polynômes

Sert à

Polynômes irréductibles et factorisation unique Dérivée formelle et racines multiples