Sous-groupes finis du groupe multiplicatif d'un corps

(i) Le groupe additif $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est cyclique d'ordre $n$, engendré par $\bar 1$. Pour chaque diviseur $d$ de $n$, notons $E_d$ l'ensemble de ses éléments d'ordre $d$. L'ordre de tout élément divise $n$ (Groupes cycliques, (i)) : les ensembles $E_d$, deux à deux disjoints, recouvrent $\mathbb Z/n\mathbb Z$, et $\sum_{d \mid n} |E_d| = n$.

Soit $d \mid n$, et $H_d$ l'unique sous-groupe d'ordre $d$ de $\mathbb Z/n\mathbb Z$, qui est cyclique (même nœud, (iii)). Un élément d'ordre $d$ engendre un sous-groupe à $d$ éléments, qui est donc $H_d$ : $E_d$ est l'ensemble des générateurs de $H_d$, et il a $\varphi(d)$ éléments (même nœud, (iii)).

(ii) Pour $d \mid n$, notons $\psi(d)$ le nombre d'éléments d'ordre $d$ de $G$. Comme en (i), l'ordre de tout élément divise $n$, et $\sum_{d \mid n} \psi(d) = n$.

Supposons $\psi(d) \geqslant 1$, et soit $x$ d'ordre $d$. Les $d$ éléments $x^k$ de $\langle x \rangle$ vérifient $(x^k)^d = (x^d)^k = e$ ; par hypothèse, il n'y en a pas d'autre. Tout élément d'ordre $d$ vérifie $y^d = e$ (Groupes cycliques, (i)), donc appartient à $\langle x \rangle$, qu'il engendre, puisqu'il engendre un sous-groupe à $d$ éléments.

Les éléments d'ordre $d$ sont donc les générateurs du groupe cyclique $\langle x \rangle$, d'ordre $d$, au nombre de $\varphi(d)$ (même nœud, (iii)). Ainsi $\psi(d)$ vaut $0$ ou $\varphi(d)$, et dans les deux cas $\psi(d) \leqslant \varphi(d)$. Par (i), $$n = \sum_{d \mid n} \psi(d) \leqslant \sum_{d \mid n} \varphi(d) = n,$$ de sorte que chaque inégalité est une égalité.

En particulier $\psi(n) = \varphi(n)$, qui est au moins $1$ puisque $1$ est premier à $n$. Un élément d'ordre $n$ engendre un sous-groupe à $n$ éléments, c'est-à-dire $G$.

(iii) Soit $G$ un sous-groupe fini de $K^\times$, d'ordre $n$, et $d \mid n$. Les $x \in G$ tels que $x^d = 1$ sont des racines dans $K$ du polynôme $X^d - 1$, puisque l'évaluation en $x$ envoie $X^d - 1$ sur $x^d - 1$ (Évaluation, (i)).

Ce polynôme est unitaire de degré $d \geqslant 1$, donc non nul, et le corps $K$ est intègre (Corps, (i)) : il a au plus $d$ racines dans $K$ (Racines, (iii)). Le critère (ii) s'applique, et $G$ est cyclique.

Pour $q$ premier, $\mathbb Z/q\mathbb Z$ est un corps (ℤ/nℤ), à $q$ éléments ; le groupe $(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times = (\mathbb Z/q\mathbb Z) \setminus \{\bar 0\}$, fini d'ordre $q - 1$, est donc cyclique.

(iv) Si $G$ est cyclique, $G[\ell]$ en est un sous-groupe, donc est cyclique (Groupes cycliques, (iii)) ; son générateur $x$ vérifie $\ell x = 0$, donc son ordre, qui est $|G[\ell]|$, divise $\ell$ (même nœud, (i)).

Réciproquement, $G$ est isomorphe à un produit $C_1 \times \cdots \times C_r$ de groupes cycliques $C_i = \mathbb Z/\ell_i^{k_i}\mathbb Z$, avec des $\ell_i$ premiers et des $k_i \geqslant 1$ (Groupes abéliens finis, (iii)). Un isomorphisme envoie $G[\ell]$ sur le sous-groupe des $x$ tels que $\ell x = 0$ dans le produit, qui est $C_1[\ell] \times \cdots \times C_r[\ell]$, puisque l'addition se fait composante par composante.

Dans $C_i$, la classe $\bar m$ vérifie $\ell\bar m = \bar 0$ si et seulement si $\ell_i^{k_i}$ divise $\ell m$.

Si $\ell_i \neq \ell$, le premier $\ell$ ne divise pas $\ell_i^{k_i}$, par le lemme d'Euclide (Nombres premiers, (i)), de sorte que $\ell \wedge \ell_i^{k_i} = 1$, et le lemme de Gauss (PGCD, Bézout, (iii)) impose $\ell_i^{k_i} \mid m$ : $C_i[\ell] = \{\bar 0\}$.

Si $\ell_i = \ell$, la condition est $\ell^{k_i - 1} \mid m$, satisfaite par $\ell$ classes parmi $\bar 0, \dots, \overline{\ell^{k_i} - 1}$.

Ainsi $|G[\ell]| = \ell^{s}$, où $s$ est le nombre d'indices $i$ tels que $\ell_i = \ell$.

Si $|G[\ell]| \leqslant \ell$ pour tout $\ell$, chaque premier figure au plus une fois parmi les $\ell_i$ ; les ordres $\ell_i^{k_i}$ sont alors deux à deux premiers entre eux, et le produit est cyclique, par récurrence sur $r$ à l'aide de Groupes cycliques, (iv), puisque $\ell_1^{k_1} \cdots \ell_{r-1}^{k_{r-1}}$ est premier à $\ell_r^{k_r}$ par le lemme d'Euclide (Nombres premiers, (i)).