Groupes d'ordre p, p², 2p et pq

(i) C'est Groupes cycliques, (ii) et (i).

(ii) Le centre $Z$ n'est pas trivial (Actions de groupe, (iv)), et son ordre divise $p^2$. S'il valait $p$, le quotient $G/Z$, d'ordre $p$, serait cyclique, engendré par une classe $xZ$ : tout élément s'écrirait $x^kz$ avec $z \in Z$, et deux tels éléments commuteraient, de sorte que $G$ serait abélien et $Z = G$, contradiction.

Donc $Z = G$, et $G$ est abélien ; les partitions de $2$ sont $(2)$ et $(1, 1)$ (Groupes abéliens finis, (ii)).

(iii) Par les théorèmes de Sylow (Sylow, (iii)), $n_p$ divise $2$ et vaut $1$ modulo $p \geqslant 3$, donc $n_p = 1$ : le $p$-Sylow $P = \langle x \rangle$ est distingué. Par le théorème de Cauchy (Cauchy), il existe $y$ d'ordre $2$, qui n'est pas dans $P$.

Comme $P$ est distingué, $yxy^{-1} = x^a$ ; en conjuguant deux fois, $$x = y^2xy^{-2} = x^{a^2},$$ donc $a^2 \equiv 1 \pmod p$, c'est-à-dire $p \mid (a - 1)(a + 1)$, et $a \equiv \pm 1$ par le lemme d'Euclide (Nombres premiers, (i)).

Si $a \equiv 1$, $x$ et $y$ commutent, $xy$ est d'ordre $2p$ (Groupes cycliques, (iv)), et $G$ est cyclique. Si $a \equiv -1$, $G \cong \mathcal D_p$ (Diédraux, quaternions, (ii)). Les deux cas s'excluent, $\mathcal D_p$ n'étant pas abélien.

(iv) Le nombre $n_q$ divise $p$ et vaut $1$ modulo $q$ ; comme $1 < p < q$, $n_q = 1$. Le nombre $n_p$ divise $q$ et vaut $1$ modulo $p$ ; comme $q \not\equiv 1 \pmod p$, $n_p = 1$.

Les deux Sylow $P = \langle x \rangle$ et $Q = \langle y \rangle$ sont distingués et se coupent trivialement, leurs ordres étant premiers entre eux ; le commutateur $[x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$ appartient à $P \cap Q = \{e\}$, donc $x$ et $y$ commutent, et $xy$ est d'ordre $pq$.

(v) Le groupe $(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times$ est cyclique d'ordre $q - 1$ (Groupe multiplicatif, (iii)), engendré par la classe $\bar g$ d'une racine primitive $g$. Comme $p$ divise $q - 1$, l'entier $k = (q - 1)/p$ divise $q - 1$, donc $(q - 1) \wedge k = k$, et l'ordre de $\bar g^k$ est $$\frac{q - 1}{(q - 1) \wedge k} = \frac{q - 1}{k} = p$$ (Groupes cycliques, (iii)) : l'entier $a = g^k$ convient.

L'application $h \mapsto \bar a^h$ est un morphisme de $(\mathbb Z, +)$ dans $(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times$, puisque $\bar a^{h + h'} = \bar a^h\bar a^{h'}$ (Groupes cycliques), et elle vaut $\bar 1$ sur $p\mathbb Z$ puisque $\bar a^p = \bar 1$.

Ce morphisme passe au quotient en un morphisme de $\mathbb Z/p\mathbb Z$ (Théorème d'isomorphisme), que l'on compose avec l'isomorphisme $\bar c \mapsto (x \mapsto \bar cx)$ de $(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times$ sur $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/q\mathbb Z)$ (Produits semi-directs, (iv)) : c'est $\omega_a$.

Par le même nœud, (i), $G_a$ est un groupe à $pq$ éléments, et la conjugaison de $(\bar 1, \bar 0)$ par $(\bar 0, \bar 1)$ donne $(\omega_a(\bar 1)(\bar 1), \bar 0) = (\bar a, \bar 0)$. Comme $\bar a \neq \bar 1$, l'ordre de $\bar a$ étant $p \geqslant 2$, ces deux éléments ne commutent pas.

Par Produits semi-directs, (iv), $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/q\mathbb Z)$ est isomorphe à $(\mathbb Z/q\mathbb Z)^\times$, cyclique d'ordre $q - 1$. Comme $p \mid q - 1$, il a un unique sous-groupe $U$ d'ordre $p$ (Groupes cycliques, (iii)).

Les éléments de $U$ autres que l'identité sont d'ordre $p$ (même nœud, (ii)). Réciproquement, un automorphisme d'ordre $p$ engendre un sous-groupe d'ordre $p$, qui est $U$ par unicité.