Le groupe non abélien d'ordre pq

(i) Soit $G$ un groupe non abélien d'ordre $pq$. Structure de $G$. Il existe des $q$-Sylow (Sylow, (i)), et leur nombre $n_q$ divise $p$ et vaut $1$ modulo $q$ (Sylow, (iii)) ; comme $1 \leqslant n_q \leqslant p < q$, $n_q = 1$, et le $q$-Sylow $Q$ est distingué, cyclique d'ordre $q$, engendré par un élément $y$ (Groupes cycliques, (ii)).

Le théorème de Cauchy (Cauchy) fournit $x$ d'ordre $p$ ; soit $P = \langle x \rangle$. Le sous-groupe $P \cap Q$ a un ordre qui divise $p$ et $q$ (Lagrange), donc $P \cap Q = \{e\}$.

L'application $(b, c) \mapsto bc$ de $Q \times P$ dans $G$ est injective, car $bc = b'c'$ entraîne $b'^{-1}b = c'c^{-1} \in P \cap Q$ ; ses $pq$ valeurs remplissent $G$, et $QP = G$. Par la reconnaissance (Produits semi-directs, (ii)), $G \cong Q \rtimes_\varphi P$, avec $\varphi(c)(b) = cbc^{-1}$.

Le morphisme $\varphi$ n'est pas trivial : sinon $G$ serait isomorphe au produit direct $Q \times P$ de deux groupes abéliens, abélien comme eux.

Normalisation de l'action. Soit $\beta : Q \to \mathbb Z/q\mathbb Z$ l'isomorphisme $y^k \mapsto \bar k$, réciproque de celui de Groupes cycliques, (i).

L'application $\sigma \mapsto \beta \circ \sigma \circ \beta^{-1}$ est un isomorphisme de $\operatorname{Aut}(Q)$ sur $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/q\mathbb Z)$, de réciproque $\tau \mapsto \beta^{-1} \circ \tau \circ \beta$ ; c'est un morphisme, puisque $(\beta\sigma\beta^{-1})(\beta\tau\beta^{-1}) = \beta\sigma\tau\beta^{-1}$.

Par suite $$\varphi_\beta(c) = \beta \circ \varphi(c) \circ \beta^{-1}$$ définit un morphisme non trivial $\varphi_\beta : P \to \operatorname{Aut}(\mathbb Z/q\mathbb Z)$.

Son noyau est un sous-groupe de $P$ autre que $P$, donc réduit à $\{e\}$ puisque $|P| = p$ est premier. Ainsi $\varphi_\beta(x) \neq \mathrm{id}$, et $\varphi_\beta(x)^p = \varphi_\beta(x^p) = \mathrm{id}$ : $\varphi_\beta(x)$ est d'ordre $p$ (Groupes cycliques, (i)), donc appartient à $U$ (Ordres p, p², 2p, pq, (v)).

Le générateur $\omega_a(\bar 1)$, multiplication par $\bar a$, est lui aussi d'ordre $p$, donc engendre $U$ : il existe un entier $k$, avec $1 \leqslant k < p$, tel que $$\varphi_\beta(x) = \omega_a(\bar 1)^k = \omega_a(\bar k),$$ l'exposant $k = 0$ étant exclu puisque $\varphi_\beta(x) \neq \mathrm{id}$.

Transport. Comme $p$ est premier et $1 \leqslant k < p$, la classe $\bar k$ est inversible dans le corps $\mathbb Z/p\mathbb Z$ (ℤ/nℤ), et la multiplication par $\bar k$ est un automorphisme de $\mathbb Z/p\mathbb Z$ (Produits semi-directs, (iv)). En la composant avec l'isomorphisme $x^j \mapsto \bar j$ de $P$ sur $\mathbb Z/p\mathbb Z$, on obtient un isomorphisme $$\gamma : P \to \mathbb Z/p\mathbb Z, \qquad x^j \mapsto \overline{jk}.$$

Les morphismes $c \mapsto \omega_a(\gamma(c))$ et $\varphi_\beta$ de $P$ dans $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/q\mathbb Z)$ prennent la même valeur $\omega_a(\bar k)$ en $x$, qui engendre $P$ ; ils sont donc égaux, c'est-à-dire que $$\omega_a(\gamma(c)) = \beta \circ \varphi(c) \circ \beta^{-1}$$ pour tout $c \in P$. Le transport (Produits semi-directs, (iii)) donne $Q \rtimes_\varphi P \cong G_a$, donc $G \cong G_a$.

Chaque $G_{a'}$ étant non abélien d'ordre $pq$ (Ordres p, p², 2p, pq, (v)), il est isomorphe à $G_a$.

(ii) Un groupe abélien $G$ d'ordre $pq$ contient, par le théorème de Cauchy, un élément d'ordre $p$ et un élément d'ordre $q$, qui commutent ; comme $p \wedge q = 1$, $p$ et $q$ étant premiers distincts, leur produit est d'ordre $pq$ (Groupes cycliques, (iv)), et $G$ est cyclique, isomorphe à $\mathbb Z/pq\mathbb Z$. Un groupe non abélien est isomorphe à $G_a$ par (i). Les deux cas s'excluent, $G_a$ n'étant pas abélien.