Théorèmes de Sylow

Un lemme de congruence. Le coefficient binomial $\binom{p^am}{p^a}$ est congru à $m$ modulo $p$.

Dans l'anneau $A = ({\mathbb Z/p\mathbb Z})[X]$, où $p \cdot 1 = 0$, on a $(1 + X)^{p^a} = 1 + X^{p^a}$ (Binôme de Newton, (iv)), donc $$(1 + X)^{p^am} = (1 + X^{p^a})^m.$$ Développons les deux membres par la formule du binôme (même nœud, (ii)) : le coefficient de $X^{p^a}$ est, à gauche, la classe de $\binom{p^am}{p^a}$, et, à droite, celle de $\binom m1 = m$, les autres termes ne faisant apparaître que des puissances $X^{jp^a}$ avec $j \neq 1$.

Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients, d'où la congruence, et $p \nmid m$ montre que $p$ ne divise pas $\binom{p^am}{p^a}$.

(i) Argument de Wielandt. Soit $\mathcal X$ l'ensemble des parties de $G$ à $p^a$ éléments, sur lequel $G$ agit par translation, $g \cdot A = gA$. Son cardinal $\binom{p^am}{p^a}$ (Binôme de Newton, (v)) n'est pas divisible par $p$ ; les orbites formant une partition de $\mathcal X$ (Actions de groupe, (i)), l'une d'elles, celle de $A$, a un cardinal non divisible par $p$.

Comme $|G \cdot A| \cdot |G_A| = p^am$, $p^a$ divise $|G \cdot A| \cdot |G_A|$ ; or $p^a \wedge |G \cdot A| = 1$, un diviseur commun positif divisant $p^a$, donc étant une puissance de $p$ (Nombres premiers, (ii)), et ne pouvant être que $1$ puisque $p \nmid |G \cdot A|$. Le lemme de Gauss (PGCD, Bézout, (iii)) donne $p^a \mid |G_A|$.

D'autre part, pour $a_0 \in A$, l'application $g \mapsto ga_0$ envoie injectivement $G_A$ dans $A$, puisque $gA = A$ ; donc $|G_A| \leqslant p^a$. Ainsi $G_A$ est un sous-groupe d'ordre $p^a$.

(ii) Soit $P$ un $p$-Sylow et $Q$ un sous-groupe d'ordre $p^b$. Si $b = 0$, $Q = \{e\} \subset P$. Sinon, $Q$ est un p-groupe ; il agit sur $G/P$ par translation, $q \cdot gP = qgP$, et $|G/P| = m$ n'est pas divisible par $p$ ; par Actions de groupe, (iv), il y a un point fixe $gP$.

Alors $qgP = gP$ pour tout $q \in Q$, c'est-à-dire $g^{-1}qg \in P$ : $Q \subset gPg^{-1}$, qui est un $p$-Sylow, image de $P$ par l'automorphisme $x \mapsto gxg^{-1}$. Si $Q$ est lui-même un $p$-Sylow, les cardinaux sont égaux, et $Q = gPg^{-1}$.

(iii) Par (ii), l'action de $G$ par conjugaison sur l'ensemble des $p$-Sylow n'a qu'une orbite, et le stabilisateur de $P$ est $N(P)$ : $n_p = |G|/|N(P)|$ (Actions de groupe, (i)). Comme $P \subset N(P)$, le théorème de Lagrange donne $|N(P)| = |P| \cdot |N(P)/P|$, d'où $n_p \cdot |N(P)/P| = m$, et $n_p \mid m$.

Faisons agir $P$ par conjugaison sur l'ensemble des $p$-Sylow. Si $Q$ est un point fixe, $P \subset N(Q)$ ; alors $P$ et $Q$ sont deux $p$-Sylow du groupe $N(Q)$, dont l'ordre divise $p^am$ et est multiple de $p^a$, et $Q$ y est distingué : par (ii) appliqué dans $N(Q)$, $P = nQn^{-1} = Q$ pour un $n \in N(Q)$. Le seul point fixe est donc $P$, et $n_p \equiv 1 \pmod p$ par Actions de groupe, (iv).

Enfin $n_p = 1$ si et seulement si $N(P) = G$, c'est-à-dire $P \trianglelefteq G$.